[limites] calculo de limite envolvendo n e x

por **Henrique Bueno** » Dom Abr 15, 2012 14:31

O limite dado é o seguinte:

$\lim_{x\to0}\frac{(1+ax)^{\frac{1}{N}}-(1+bx)^{\frac{1}{N}}}{x}}$

sei que o resultado é $\frac{a-b}{N}$ por recorrência, afinal fiz com N=2,N=3 e N=4 e foi isso que obtive, mas não consigo partir do limite dado e chegar nessa resposta

grato pela atenção

por **LuizAquino** » Seg Abr 16, 2012 16:09

Henrique Bueno escreveu:O limite dado é o seguinte:

$\lim_{x\to0}\frac{(1+ax)^{\frac{1}{N}}-(1+bx)^{\frac{1}{N}}}{x}}$

sei que o resultado é $\frac{a-b}{N}$ por recorrência, afinal fiz com N=2,N=3 e N=4 e foi isso que obtive, mas não consigo partir do limite dado e chegar nessa resposta

Esse limite é equivalente a:

$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt[N]{1+ax} - \sqrt[N]{1+bx}}{x}$

Para resolvê-lo, você precisa usar o seguinte produto notável:

$a^k - b^k = (a - b)\left(a^{k-1} + a^{k-2}b + \ldots + ab^{k-2} + b^{k-1}\right)$

Note que no segundo fator temos uma soma que tem k parcelas. Para perceber melhor isso, observe por exemplo esse produto notável para k = 5:

$a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4\right)$

Vamos então multiplicar o numerador e o denominador da fração no limite por:

$\left(\sqrt[N]{1 + ax}^{N-1} + \sqrt[N]{1 + ax}^{N-2}\sqrt[N]{1 + bx} + \ldots + \sqrt[N]{1 + ax}\sqrt[N]{1 + bx}^{N-2} + \sqrt[N]{1 + bx}^{N-1}\right)$

Note que essa expressão tem N parcelas. Além disso, ao multiplicar essa expressão pelo numerador, teremos o produto notável indicado anteriormente para k = N:

$\left(\sqrt[N]{1 + ax} - \sqrt[N]{1 + bx}\right)\,$ $\left(\sqrt[N]{1 + ax}^{N-1} + \sqrt[N]{1 + ax}^{N-2}\sqrt[N]{1 + bx} + \ldots + \sqrt[N]{1 + ax}\sqrt[N]{1 + bx}^{N-2} + \sqrt[N]{1 + bx}^{N-1}\right)=$

$= \left(\sqrt[N]{1 + ax}\right)^N - \left(\sqrt[N]{1 + bx}\right)^N = (1 + ax) - (1 + bx) = (a-b)x$

Agora note que quando $x\to 0$ , temos que $(1 + ax)\to 1$ e $(1 + bx)\to 1$ .

Sendo assim, quando $x\to 0$ temos que aquela expressão que nós multiplicamos será igual a:

$\left(\sqrt[N]{1}^{N-1} + \sqrt[N]{1}^{N-2}\sqrt[N]{1} + \ldots + \sqrt[N]{1}\sqrt[N]{1}^{N-2} + \sqrt[N]{1}^{N-1}\right) =$

$=\underbrace{1 + 1 + \ldots + 1 + 1}_{N\textrm{ parcelas}} = N$

Usando todas essas informações, temos que:

$\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt[N]{1+ax} - \sqrt[N]{1+bx}}{x} =$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{\left(\sqrt[N]{1 + ax}\right)^N - \left(\sqrt[N]{1 + bx}\right)^N}{x\left(\sqrt[N]{1 + ax}^{N-1} + \sqrt[N]{1 + ax}^{N-2}\sqrt[N]{1 + bx} + \ldots + \sqrt[N]{1 + ax}\sqrt[N]{1 + bx}^{N-2} + \sqrt[N]{1 + bx}^{N-1}\right)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{(a-b)x}{x\left(\sqrt[N]{1 + ax}^{N-1} + \sqrt[N]{1 + ax}^{N-2}\sqrt[N]{1 + bx} + \ldots + \sqrt[N]{1 + ax}\sqrt[N]{1 + bx}^{N-2} + \sqrt[N]{1 + bx}^{N-1}\right)}$

$= \lim_{x\to 0} \dfrac{a-b}{\sqrt[N]{1 + ax}^{N-1} + \sqrt[N]{1 + ax}^{N-2}\sqrt[N]{1 + bx} + \ldots + \sqrt[N]{1 + ax}\sqrt[N]{1 + bx}^{N-2} + \sqrt[N]{1 + bx}^{N-1}}$

$= \dfrac{a-b}{\sqrt[N]{1}^{N-1} + \sqrt[N]{1}^{N-2}\sqrt[N]{1} + \ldots + \sqrt[N]{1}\sqrt[N]{1}^{N-2} + \sqrt[N]{1}^{N-1}}$

$= \dfrac{a-b}{N}$