Análise de sinal em limite 1/0

por **souzalucasr** » Qui Abr 05, 2012 11:36

Olá pessoal,

Fiz uma prova ontem e fiquei em dúvida na seguinte questão:

Calcule o limite a seguir: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x^2-x}$

Utilizei a equivalência x=t^3

, de forma a obter

$\lim_{t\rightarrow0}\frac{t-1}{t^6-t^3}$ = $\lim_{t\rightarrow0}\frac{t-1}{t^3(t^3-1)}$ = $\lim_{t\rightarrow0}\frac{t-1}{t^3(t^2+t+1)(t-1)}$

cancelando os termos (t-1)

no denominador e numerador, obtive $\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t^3(t^2+t+1)}$

Foi exatamente nesse ponto em que "travei". Ao entregar a prova, perguntei ao professor como poderia resolver e ele me disse que seria pela análise do sinal, mas não sei bem o que isso quer dizer e como fazer. Vocês poderiam me ajudar?

Muito obrigado!

Essa é minha primeira postagem aqui

por **MarceloFantini** » Qui Abr 05, 2012 12:30

O limite é com $x \to 0$ mesmo? Se já viram limites infinitos, a resposta sai de cara da primeira linha, pois o numerador tende a menos um e o denominador para zero.

por **souzalucasr** » Qui Abr 05, 2012 13:01

Eu não estou com a prova em mãos, mas tenho 99% de certeza que é x tendendo a 0, pois houve esse comentário do professor quanto ao "estudo do sinal". Eu faltei a essa aula, por isso estou perdido. Além disso, não encontrei nada no livro. Segunda-feira vou só confirmar se é isso mesmo, mas até lá vou tentando resolver.

Obrigado!

por **LuizAquino** » Qui Abr 05, 2012 19:11

souzalucasr escreveu:Calcule o limite a seguir: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{x^2-x}$

souzalucasr escreveu:Utilizei a equivalência , de forma a obter

$\lim_{t\rightarrow0}\frac{t-1}{t^6-t^3}$ = $\lim_{t\rightarrow0}\frac{t-1}{t^3(t^3-1)}$ = $\lim_{t\rightarrow0}\frac{t-1}{t^3(t^2+t+1)(t-1)}$

cancelando os termos no denominador e numerador, obtive $\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t^3(t^2+t+1)}$

Foi exatamente nesse ponto em que "travei". Ao entregar a prova, perguntei ao professor como poderia resolver e ele me disse que seria pela análise do sinal, mas não sei bem o que isso quer dizer e como fazer. Vocês poderiam me ajudar?

A dica sobre a "análise do sinal" é devido ao fato desse limite ter como resultado $\infty$ .

Como já disse o colega MarceloFantini, analisando a expressão original do limite, note que o numerador tende para -1 e o denominador para 0. Isso já é um indício que temos um limite cujo o resultado é $\infty$ . Falta agora saber se é $+\infty$ ou $-\infty$ . Para saber disso precisamos analisar o sinal.

Para x próximo de 0, temos que o numerador é negativo (como já vimos, ele tende para -1).

Precisamos agora analisar o sinal do denominador quando x está próximo de 0. Isso significa que precisamos analisar o sinal da função f(x) = x^2 - x

quando x está próximo de zero. Fazendo o estudo do sinal dessa função polinomial do segundo grau, percebemos que f(x) tende para 0 por valores positivos, quando x tende a 0 pela esquerda. Por outro lado, f(x) tende para 0 por valores negativos, quando x tende a 0 pela direita.

Em resumo:
(i) quando x tende a 0 pela esquerda, o numerador é negativo e o denominador é positivo;
(ii) quando x tende a 0 pela direita, o numerador é negativo e o denominador é negativo;

Conclusão:

$\lim_{x\to 0^-} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x^2 - x} = -\infty$

$\lim_{x\to 0^+} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x^2 - x} = +\infty$

Como esses limites laterais são diferentes, temos que não existe o limite $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{x^2 - x}$ .

souzalucasr escreveu:Eu não estou com a prova em mãos, mas tenho 99% de certeza que é x tendendo a 0, pois houve esse comentário do professor quanto ao "estudo do sinal". Eu faltei a essa aula, por isso estou perdido. Além disso, não encontrei nada no livro.

Eu gostaria de recomendar que você assista a videoaula "05. Cálculo I - Limites Infinitos". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **souzalucasr** » Sex Abr 06, 2012 11:50

Muito obrigado, Luiz e Marcelo!

Entendi perfeitamente agora. As aulas do youtube serão muito úteis. Vou continuar resolvendo o máximo de exercícios que puder e, quando tiver alguma dúvida, posto aqui para tentar aprender um pouco mais.

[]s