limites- Limite no infinito

por **killerkill** » Dom Ago 21, 2011 14:13

Estava fazendo exercícios aqui me veio uma dúvida. Antes vou mostrar a questão aqui pra poder me explicar melhor.

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right)$

a resolução fica assim:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right). \frac{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}= \frac{1}{6}$

Porquê eu preciso fazer esse trabalho de multiplicar toda expressão por

${\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}$

digo isso porque após esse passo, eu terei de dividir o numerador e denominador por x correto? Se eu,antes de multiplicar a minha equaçao por esse termo ja dividisse tudo por x ficaria assim:

$\frac{{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right)}}{x}= \frac{\sqrt[2]{9x^2+x}}{x}-\frac{3x}{x}= \sqrt[2]{\frac{9x^2+x}{x^2}}-3= 3-3=0$

A resposta é errada. Todavia, não consigo enxergar no caminho a impossibilidade de fazer esse cálculo dessa maneira.
Por fim, oque então me faz pensar que é necessário fazer:
$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right). \frac{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}= \frac{1}{6}$

por **LuizAquino** » Dom Ago 21, 2011 20:59

killerkill escreveu: $\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right)$

a resolução fica assim:

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right). \frac{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}= \frac{1}{6}$

Porquê eu preciso fazer esse trabalho de multiplicar toda expressão por

${\left(\sqrt[2]{9x^2+x }+3x \right)}$

Em primeiro lugar, você não apenas multiplicou tudo por ${\left(\sqrt{9x^2+x }+3x\right)}$ . Você multiplicou e dividiu tudo por isso.

Em segundo lugar, a ideia básica é reescrever o limite de modo a aparecer termos como $\frac{1}{f(x)}$ , pois desse modo podemos usar o fato de que se $f(x)\to \infty$ , então $\frac{1}{f(x)}\to 0$ .

killerkill escreveu:Se eu,antes de multiplicar a minha equaçao por esse termo ja dividisse tudo por x ficaria assim:

$\frac{{\left(\sqrt[2]{9x^2+x }-3x \right)}}{x}= \frac{\sqrt[2]{9x^2+x}}{x}-\frac{3x}{x}= \sqrt[2]{\frac{9x^2+x}{x^2}}-3= 3-3=0$

A resposta é errada.

É claro que está errado! Por exemplo, veja que $5 \neq \frac{5}{x}$ (com x não nulo e diferente de 1). Por outro lado, temos que $5 = \frac{5\cdot x}{x}$ (com x não nulo).

Isso significa que para não alterar a expressão você deveria multiplicar e dividir tudo por x. Entretanto, mesmo que nesse exercício você fizesse isso, veria que não ajudaria na solução, pois acabaria em uma indeterminação do tipo $0\cdot \infty$ .

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Re: limites- Limite no infinito

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