Limite

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 02:49

Não consigo resolver este exercício de limite de função composta.

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x^2+3}-2}{x^2-1}$

Alguém poderia dar uma dica por onde começar?

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 03:02

Sendo:
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x^2+3}-2}{x^2-1}$

Onde $u=\sqrt[]{x^2+3}$ e x=u^2-3

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x^2+3}-2}{x^2-1}$

$\lim_{u\rightarrow2}\frac{(u-2)}{(u^2-4)}$

$\lim_{u\rightarrow2}\frac{(u-2)}{(u-2)(u+2)}$

$\lim_{u\rightarrow2}\frac{1}{(u+2)}= \frac{1}{4}$

Correto?
Resolvi analisando os exercícios que já estão feitos no livro, porém, foi na base do chute e da analogia mesmo a condição de existência feita nas primeiras linhas da resolução. Gostaria que alguém detalhasse como "desmembrar" essa função composta para encontrar o valor de u e o valor de x. E também, saber como $u\rightarrow2$

Obrigado

por **FilipeCaceres** » Ter Ago 02, 2011 09:23

Olá Claudin,

Está sua solução é análogo a que eu lhe apresentei aqui

Onde $u=\sqrt[]{x^2+3}$ e

Só uma correção

$\boxed{x^2}=u^2-3$

Observe que,
Como $x\to 1$ então $u\to 2$ , pois $u=\sqrt{1^2+3}=2$

Abraço.

por **LuizAquino** » Ter Ago 02, 2011 09:36

Claudin escreveu: $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x^2+3}-2}{x^2-1}$

Alguém poderia dar uma dica por onde começar?

Outra opção para resolver esse limite é multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{x^2+3}+2$ .

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 15:58

por **Claudin** » Ter Ago 02, 2011 17:33

LuizAquino escreveu:Outra opção para resolver esse limite é multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt{x^2+3}+2$ .

Provando a dica de Luiz Aquino temos:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x^2+3}-2}{x^2-1}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[]{x^2+3}-2}{x^2-1}.\frac{\sqrt[]{x^2+3}+2}{\sqrt[]{x^2+3}+2}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+3-4}{(x+1)(x-1)(\sqrt[]{x^2+3}+2)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(\sqrt[]{x^2+3}+2)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{(\sqrt[]{x^2+3}+2)}= \frac{1}{(\sqrt[]{1^2+3}+2)}=\boxed{\frac{1}{4}}$

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