Máximos e mínimos

por **Deivid** » Seg Jun 20, 2011 18:41

Olá, eu estou com bastante dificuldades para resolver algumas questões de uma lista de exercícios que tenho aqui baseada no livro Cálculo B de Mirian Buss e Diva Flemming.

A questão é sobre máximos e mínimos e eu não sei nem como começar.

"Calcular as dimensões de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume máximo, com área lateral total igual a 5 cm²."

"Precisa-se construir um tanque com a forma de um paralelepípedo para estocar 270m³ de combustível, gastando a menor quantidade de material em sua construção. Supondo que todas as paredes são feitas do mesmo material e terão a mesma espessura, determinar as dimensões do tanque."

São as questões no estilo dessas duas que eu não consigo compreender. Alguém poderia dar uma luz?

Obrigado,

Deivid Steffens.

por **LuizAquino** » Seg Jun 20, 2011 19:54

Para determinar o máximo ou o mínimo local de uma função de duas variáveis podemos usar o teste da segunda derivada.

Seja $D(x,\,y) = \begin{vmatrix} f_{xx}(x,\,y) & f_{xy}(x,\,y)\\ f_{yx}(x,\,y) & f_{yx}(x,\,y) \end{vmatrix}$ . Suponha que $f_{x}(a,\,b) = 0$ e $f_{y}(a,\,b) = 0$ (com f possuindo derivadas parciais contínuas até pelo menos a segunda ordem).

(i) Se $D(a,\,b) > 0$ e $f_{xx}(a,\,b) > 0$ , então $f(a,\,b)$ é um mínimo local.
(ii) Se $D(a,\,b) > 0$ e $f_{xx}(a,\,b) < 0$ , então $f(a,\,b)$ é um máximo local.
(iii) Se $D(a,\,b) < 0$ , então $f(a,\,b)$ não é nem mínimo e nem máximo local.

Desse modo, nesse tipo de exercício a primeira coisa que você precisa fazer é armar a função que deseja calcular o mínimo ou o máximo.

No caso particular dos exercícios que você enviou, note que essa parte de armar a função exige apenas os conhecimentos de Geometria Espacial. Portanto, é recomendável que você estude essa matéria caso não esteja sabendo.

Sugestão
Se quiser revisar os conceitos de máximo ou mínimo de funções com uma variável, eu recomendo que assista as vídeo-aulas:

19. Cálculo I - Máximo e Mínimo de Funções.
20. Cálculo I - Crescimento, Decrescimento e Concavidade do Gráfico de Funções.
21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada.

por **Deivid** » Ter Jun 21, 2011 00:52

Olá, obrigado pela resposta.
Seus vídeos me esclareceram algumas duvidas. Só para informar, eu tenho que resolver o exercício usando derivadas de mais variáveis, não uma.

Então analisando o primeiro problema eu tenho a informação que é uma caixa retangular, portanto volume é V=xyz

. E pela área informada eu obtenho 2xz + 2yz=5

. A área total é At=Al + Ab

, portanto At = 2xz + 2yz + xy

.

Essas as informações que consegui coletar, estão corretas, como procedo agora?

Desculpe não conseguir avançar mais que isso, mas essa matéria realmente não entrou na minha cabeça.

por **LuizAquino** » Ter Jun 21, 2011 10:08

Deivid escreveu:Então analisando o primeiro problema eu tenho a informação que é uma caixa retangular, portanto volume é V=xyz. E pela área informada eu obtenho 2xz + 2yz=5. A área total é At=Al + Ab, portanto At = 2xz + 2yz + xy.

O exercício informa que a área lateral total é igual a 5 cm². Portanto, temos que 2xz + 2yz + xy = 5.

Queremos maximizar o volume, que é dado por V = xyz. Ora, essa é uma função de três variáveis, mas queremos utilizar os conhecimentos sobre o máximo de funções com duas variáveis.

Para reduzir o número de variáveis dessa função, basta perceber que da informação sobre a área lateral total temos que z = (5 - xy)/(2x + 2y). Portanto, V pode ser reescrito como uma função de duas variáveis: $V(x,\, y) = \frac{xy(5-xy)}{2x + 2y}$ .

Agora basta utilizar o teste da segunda derivada.

por **Deivid** » Qua Jun 22, 2011 17:06

Infelizmente a primeira eu simplesmente não consegui fazer...
Mas a segunda eu consegui(tanque de 270m³), encontrei valores $\left(3\sqrt[3]{10}, 3\sqrt[3]{10}, 3\sqrt[3]{10} \right)$ que coincidem com o da lista.

por **LuizAquino** » Qua Jun 22, 2011 17:33

Deivid escreveu:Infelizmente a primeira eu simplesmente não consegui fazer...

Que parte exatamente você não conseguiu fazer? Qual é exatamente a sua dúvida?

Você conseguiu calcular as derivadas parciais V_x

e

?

Você conseguiu resolver o sistema abaixo?
$\begin{cases} V_x = 0 \\ V_y = 0 \end{cases}$

por **miguelfl** » Qua Jun 22, 2011 21:21

é bom usar mutiplicadores de Lagrange, agora eu me confundi nessa parte das áreas laterias iguais a 5 porque aqui n dá quando eu coloco 2xy + 2 xz = 5

por **Deivid** » Qua Jun 22, 2011 23:15

Não sei o que são multiplicadores de lagrange, vou dar uma pesquisada. Na verdade a area das laterais é 2xz(a parte frontal e traseira) + 2 yz(as duas laterias) = 5.
Luiz Aquino, não havia percebido que você editou sua primeira mensagem, eu já conhecia esses conceitos do determinante e dos testes, não sabia apenas quando aplica-los.
Uma duvida, quando o determinante der maior que 0 e a derivada der = 0, existe essa possibilidade? (se não existe errei uma questão na prova hoje hehe)

por **MarceloFantini** » Qua Jun 22, 2011 23:44

Acredito que essa possibilidade não existe, pois segunda derivada igual a zero não se conclui nada.

por **LuizAquino** » Qua Jun 22, 2011 23:47

miguelfl escreveu:(...) é bom usar mutiplicadores de Lagrange (...)

Acontece que os Multiplicadores de Lagrange tipicamente são abordados depois do conteúdo de máximo e mínimo de funções com várias variáveis. Por isso mesmo que eu não sugeri, pois pela primeira pergunta do Deivid percebe-se que ele ainda não estudou esse conteúdo, como de fato ele acabou confirmando.

miguelfl escreveu:agora eu me confundi nessa parte das áreas laterias iguais a 5 porque aqui n dá quando eu coloco 2xy + 2 xz = 5

Deivid escreveu:Na verdade a area das laterais é 2xz(a parte frontal e traseira) + 2 yz(as duas laterias) = 5.

O exercício diz que a área lateral total é 5 cm². É para contabilizar a parte frontal, traseira, laterais e o fundo. Só não é para contabilizar a tampa, como sugere o texto do exercício. Por isso que ficamos com 2xz + 2yz + xy = 5.

Em verdade, o texto do exercício deveria estar mais claro. Por exemplo, poderia estar escrito que a superfície (ou a área) total da caixa é 5 cm².

Observação

Na minha primeira mensagem, onde há escrito