Questão com integral

por **Cristiano Tavares** » Sáb Jun 11, 2011 00:06

Olá pessoal,

Não estou conseguindo resolver a questão que segue abaixo, vocês podem me ajudar?

Se f(x) é uma função real e derivável tal que a integral de f '(x) tgx dx é igual a sen³x + C e f(0)= - 1, então f (pi/2) = 1. Verdadeiro ou falso?

Estou encontrando dificuldade para obter a expressão de f(x) a partir da integral de f '(x) tgx dx.

por **LuizAquino** » Sáb Jun 11, 2011 18:25

Por definição, sabemos que $\int f(x)\,dx = F(x)$ significa que f(x) = F'(x).

No exercício, teremos que $f^\prime(x)\textrm{tg}\,x = (\textrm{sen}^3\,x + C)^\prime$ .

Arrumando esse equação, obtemos $f^\prime(x) = 3\textrm{sen}\,x\cos^2 x$ .

Para determinar f, integramos ambos os membros dessa equação. Desse modo, temos $f(x) = 3\int \textrm{sen}\,x\cos^2 x\, dx$ .

Para calcular essa integral, faça a substituição $u = \cos x$ .

Em seguida, use a informação f(0) = -1 para determinar a constante que aparece na integração.

Por fim, calcule o valor de f(pi/2).

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