Ajuda sobre Limites seno e exponencial

por **gn66** » Sex Jun 03, 2011 12:02

Pessoa, podem ajudar aqui, qual é o limite de:

$\lim_{x\to0+}\frac{x^2.sen(1/x)} {sen(x)}$

e de:

$\lim_{x\to0+}\frac{e^\frac{-1}{x}} {x}$

Eu não estou conseguindo resolver

por **gn66** » Sex Jun 03, 2011 13:18

O primeiro já consegui resolver, separamos

(x/senx).(x.sen(1/x))

x/senx =1

como lim(x->0+) x é 0

e sen(1/x) é uma funçao limitada (sen(1/x))<ou=1

Então segundo o teorema do confronto, lim x.sen(1/x) = 0

então lim(x->0+) (x/senx).(x.sen(1/x) = 1.0 =0

por **LuizAquino** » Sex Jun 03, 2011 14:14

Primeiro, vamos escrever as suas ideias de uma forma mais adequada.

Sabemos que:
$\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{\textrm{sen}\, x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{\frac{\textrm{sen}\, x}{x}} = 1$ .

Por outro lado, temos que $-1 \leq \textrm{sen} \frac{1}{x} \leq 1$ . Multiplicando toda a inequação por um número x > 0, obtemos que: $-x \leq x\,\textrm{sen} \frac{1}{x} \leq x$ .

Como $\lim_{x\to 0^+} -x = \lim_{x\to 0^+} x = 0$ , pelo Teorema do Confronto segue que $\lim_{x\to 0^+} x\,\textrm{sen} \frac{1}{x} = 0$ .

Portanto, $\lim_{x\to 0^+} \frac{x^2\,\textrm{sen} \frac{1}{x}}{\textrm{sen}\, x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{\textrm{sen}\, x} \cdot \lim_{x\to 0^+} x\,\textrm{sen} \frac{1}{x}= 0$ .

Agora, em relação ao segundo exercício, você já estudou a Regra de L'Hôpital?

por **Claudin** » Sex Jun 03, 2011 15:01

No limite trigonométrico é só tentar chegar ao limite fundamental!

por **gn66** » Sex Jun 03, 2011 15:14

Sim, já, mas não estou a conseguir ir por ai.... por causa do -1/x

por **Claudin** » Sex Jun 03, 2011 15:43

gn66 escreveu:Sim, já, mas não estou a conseguir ir por ai.... por causa do -1/x

É só analisar o que o Luiz fez
seria $\lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x^2sen\frac{1}{x}}{senx} \Rightarrow \lim_{x\rightarrow0^+}\frac{x}{senx} . \lim_{x\rightarrow0^+}x.sen\frac{1}{x}$

E que pelo teorema do confronto $\lim_{x\rightarrow0^+}x.sen\frac{1}{x} = 0$

mas não tem nenhum limite negativo ai nao.

por **gn66** » Sex Jun 03, 2011 16:05

não, no segundo....ai e que não estou conseguindo, peco desculpa pela confusao

por **LuizAquino** » Sex Jun 03, 2011 16:30

Como eu falei anteriormente, se você já estudou a Regra de L'Hôpital, então basta aplicá-la.

Nesse caso, é interessante reescrever o limite de uma outra forma:

$\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-\frac{1}{x}}} {x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{e^\frac{1}{x} }$