Dificuldade ao resolver uma Integral Racinal

por **rubenesantos** » Seg Mai 02, 2011 22:38

Olá, amigos, boa noite. Sou novo no fórum e esta é minha primeira postagem.
Pois então,

Resolvendo uma lista de exercícios, me deparei com a seguinte questão: $\int_{}(x^3+1)/(4x^3-x)dx{}$

Já resolvi outras questões desse tipo mas essa está quebrando a minha cabeça a semanas.

Eu divido o polinômio pelo outro, já que ambos tem o mesmo grau e resta a integral $x/4 \int_{}dx/(4x^3-x){} + 1/4 \int_{}xdx/4x^3-x{}$

Até aí eu acho que estou indo certo, mas a partir daí eu não consigo decompor esses polinômios e quando consigo sempre chego num resultado diferente do resultado da lista que é:
$x/4 - ln\left|x\right| + 1/16\left[9ln\left|2x-1\right| + 7ln\left|2x+1 \right| \right] + C$

Quem puder me ajudar, desde já agradeço!
Abraço! =D

por **LuizAquino** » Seg Mai 02, 2011 22:58

Note que $x^3 + 1 = \frac{1}{4}(4x^3 - x) + \frac{1}{4}x + 1$ . Ou seja, temos que $\frac{x^3 + 1}{4x^3 - x} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4(4x^2-1)} + \frac{1}{4x^3-x}$ .

Portanto, você precisa resolver a integral:
$\int \frac{x^3+1}{4x^3-x}dx = \int \frac{1}{4}\, dx + \frac{1}{4}\int\frac{1}{4x^2-1}\,dx + \int\frac{1}{4x^3-x}\,dx$

Agora, aplique frações parciais na segunda e na terceira integral. Além disso, perceba que 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)

e que

.

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