Regra da cadeia, potencia, produto, seno, cosseno

por **0 kelvin** » Sex Abr 15, 2011 06:50

Derivar sen(cos²(x))cos(sen²(x))

Fiz o produto e saiu (sen(cos²(x)))' . cos(sen²(x)) + sen(cos²(x)) . (cos(sen²(x)))'

Daí derivada de sen é cos e cos é -sen.

cos(cos²(x)) . cos(sen²(x)) + sen(cos²(x)) . (-sen(sen²(x)))

Substituindo variável:

cos(x) = u
sen(x) = v

cos(u²) . cos(v²) + sen(u²) . (-sen(v²))

Fiz regra da potência e saiu 2cos(u) . 2cos(v) + 2sen(u) . (-2sen(v))

Mas daí parece que não vai mais pra lugar nenhum.

por **LuizAquino** » Sex Abr 15, 2011 09:31

$[\textrm{sen}\,(\cos^2 x)\cos (\textrm{sen}^2\,x)]^\prime = [\textrm{sen}\,(\cos^2 x)]^\prime\cos (\textrm{sen}^2\,x) + \textrm{sen}\,(\cos^2 x)[\cos (\textrm{sen}^2\,x)]^\prime$

$= \cos(\cos^2 x)[\cos^2 x]^\prime\cos (\textrm{sen}^2\,x) - \textrm{sen}\,(\cos^2 x)\textrm{sen}\,(\textrm{sen}^2\,x)[\textrm{sen}^2\,x]^\prime$

$= 2\cos(\cos^2 x)\cos x[\cos x]^\prime\cos (\textrm{sen}^2\,x) - 2\textrm{sen}\,(\cos^2 x)\textrm{sen}\,(\textrm{sen}^2\,x)\textrm{sen}\,x[\textrm{sen}\,x]^\prime$

$= -2\cos(\cos^2 x)\cos x\,\textrm{sen}\,x\cos (\textrm{sen}^2\,x) - 2\textrm{sen}\,(\cos^2 x)\textrm{sen}\,(\textrm{sen}^2\,x)\textrm{sen}\,x\cos x$

$= -2\textrm{sen}\,x \cos x[\cos(\cos^2 x)\cos (\textrm{sen}^2\,x) + \textrm{sen}\,(\cos^2 x)\textrm{sen}\,(\textrm{sen}^2\,x)]$

$= -\textrm{sen}\,2x\cos(\cos 2x)$

Observação
No último passo usamos três identidades trigonométricas:
(i) $2\textrm{sen}\,a\cos a = \textrm{sen}\,2a$
(ii) $\cos a\cos b + \textrm{sen}\,a\,\textrm{sen}\,b = \cos(a-b)$
(iii) $\cos^2 a - \textrm{sen}^2\, a = \cos 2a$

Regra da cadeia, potencia, produto, seno, cosseno

Regra da cadeia, potencia, produto, seno, cosseno

Regra da cadeia, potencia, produto, seno, cosseno

Re: Regra da cadeia, potencia, produto, seno, cosseno

Quem está online