Alguém sabe calcular essa Integral ?e?.senxdx ?

por **lucat28** » Qua Mar 16, 2011 12:43

Olá senhores, estou tendo dificuldade em resolver algumas integrais por partes e queria pedir a ajuda de vocês para resolver essa questão:

$\int_{}^{}e^xsenxdx$

O metódo de integração é por partes mas não consigo achar a resposta certa.
a resposta é:
$\frac{1}{2}e^x(senx-cosx)+c$

desde já, obrigado!

por **Molina** » Qua Mar 16, 2011 14:37

Boa tarde.

Nesta questão você terá que fazer duas substituições. Esse macete é bastante usado e provavelmente aparecerá outras questões que você terá que fazer este mesmo caminho.

$\int e^xsenxdx$

Por partes, temos que:

$u=senx \Rightarrow du=cosxdx$
$dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x$

$\int e^xsenxdx = \int u dv = uv - \int vdu = e^x senx - \int e^x cosx dx$

Ou seja, temos que:

$\int e^xsenxdx = e^x senx - \int e^x cosx dx$

Precisamos usar a integração por partes novamente da integral do lado direito da igualdade:

$u=cosx \Rightarrow du=-senxdx$
$dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x$

$\int e^x cosx dx = \int u dv = uv - \int vdu = e^x cosx + \int e^x senx dx$

Ou seja, temos que:

$\int e^x cosx dx = e^x cosx + \int e^x senx dx$

Substituindo na primeira equação:

$\int e^xsenxdx = e^x senx - \int e^x cosx dx$

$\int e^xsenxdx = e^x senx - e^x cosx - \int e^x senx dx$

$2\int e^xsenxdx = e^x senx - e^x cosx$

$\int e^xsenxdx = \frac{1}{2}e^x (senx - cosx) + cte$

Qualquere dúvida informe, :y: