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Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor EulaCarrara » Ter Mar 15, 2011 16:50

Boa tarde!

Função dada: f(x,y)=\sqrt[2]{45-3{x}^{2}-5{y}^{2}}

Considerando Z=k (constante), me deparei com a seguinte equação:

Para k=0, 3{x}^{2}+5{x}^{2}=45
Para k=1, 3{x}^{2}+5{x}^{2}=44
...

Eis a dúvida.. as equações acima (das curvas de nível) são de uma circunferência ou de uma elipse (dividindo a equação por 45)?
E como x² e y² estão acompanhados de um número multiplicador, como chegar às curvas de nível?
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Re: Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor LuizAquino » Ter Mar 15, 2011 17:44

Temos a função f(x,y)=\sqrt{45-3{x}^{2}-5{y}^{2}}. Fazendo z=k, ou seja, f(x, y)=k, obtemos:

3x^2 + 5y^2 = 45-k^2

Lembrando que eu só pude fazer a simplificação \left(\sqrt{45-3{x}^{2}-5{y}^{2}}\right)^2=45-3{x}^{2}-5{y}^{2}, pois temos que 45-3{x}^{2}-5{y}^{2} \geq 0 para que o contradomínio da função seja o conjunto dos números reais, e não o dos números complexos. Em outras palavras, eu estou assumindo que não pode aparecer um número negativo dentro da raiz.

Agora, dividindo tudo por 45-k^2 e arrumando a equação:

\frac{x^2}{\frac{45-k^2}{3}} + \frac{y^2}{\frac{45-k^2}{5}} = 1

Note que isso é uma elipse.

Recomendo que dê uma olhada no tópico:
[Dúvida]Gráficos de funções com duas variáveis.
viewtopic.php?f=120&t=4069
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Re: Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor EulaCarrara » Qua Mar 16, 2011 20:54

LuizAquino.. Obrigada!
Até aí entendi...

Mas no caso de se atribuir valores que está me confundindo..

Por exemplo, para k=0:
\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{9}=1

Como seria esse desenho da elipse no esboço das curvas de nível?
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Re: Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor LuizAquino » Qua Mar 16, 2011 23:14

Há um vasto material na internet ensinando como esboçar o gráfico de uma elipse.

Com uma rápida pesquisa pelo Google, por exemplo, podemos achar a página:
Gráficos de Equações
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/precalculo1/sala/conteudo/capitulos/cap31s4.html
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Re: Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor EulaCarrara » Qui Mar 17, 2011 09:42

Sim... Eu dei uma olhada em vários sites... Só que todos os exemplos que eu encontrei, no denominador sempre tinha números quadrados perfeitos... No caso desse exercício que estou fazendo, "15" não tem raiz exata, por isso achei que teria algo diferente no esboço da curva..

De qualquer forma, obrigada!! ;)
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Re: Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 17, 2011 10:13

Não há mistério algum. Basta calcular a raiz quadrada aproximada.
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Re: Graficando funções de duas variáveis com raíz quadrada

Mensagempor EulaCarrara » Qui Mar 17, 2011 20:03

Ok ok!

O gráfico final foi um "semi" elipslóide invertido..

LuizAquino, muito obrigada *-*

Abraços!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?