Multiplicadores de Lagrange

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Multiplicadores de Lagrange

Mensagempor luciamoura » Sex Nov 26, 2010 17:55

Primeiramente gostaria de pedir desculpas pelo incomodo. Gostaria da opinião de vocês sobre a resolução de uma questão referente à multiplicadores de Lagrange.

A questão é a seguinte:
Uma certa sonda espacial possui formato de um elipsoide 4*x^2+ y^2+4*z^2 = 16.
Sabendo-se que a temperatura (C) sobre a sua superfcie é modelada pela formula
T(x; y; z) = 8*x^2 + 4*y*z ? 16*z + 600, encontre o ponto mais quente.

Primeiramente eu isolei "x" na equação do elipsóide, substituí na equação da temperatura e calculei as derivadas parciais com relação a "y" e a "z". Entretanto, obtive como resposta uma equação com raízes complexas. Depois tentei usar um software matemático (Mathematica e o Maple) para calcular os valores das equações obtidas pelos multiplicadores de Lagrange, tomando T(x,y,z) como a função a sex maximizada e obtive 7 pontos P(x,y,z). Gostaria de saber se essa segunda forma de resolver é a correta (uso de software). Caso não, você poderia me dar alguma dica para a resolução do problema.

A questão encontra-se na página do ICMC da USP: http://www.icmc.usp.br/~matofu/2-2010/s ... 4-2010.pdf (5º quesito)
Agradeço desde já,
Lúcia.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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