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Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Qua Nov 11, 2020 02:22

Bom dia, amigos!
Faço Licenciatura em Matemática na Univesp.
Gosto de assistir as video-aulas pausando os exercícios e resolvendo-os antes de ver a resposta.
Ao tentar fazer o exercício abaixo, a minha solução deu diferente da do professor.
Gostaria de uma opinião de vocês para eu saber se fiz certo e o professor se equivocou (às vezes acontece...) ou o contrário.
Segue o exercício (a minha resposta deu -12 e a do professor +24):

A temperatura em uma superfície é dada por z=f(x,y)= x²y - xy. Uma partícula se desloca sobre esta superfície pela curva γ(t)=(t²-3, 3t) [onde (t²-3) é a coordenada x(t) e 3t é a coordenada y(t)].
Determine a taxa de variação de temperatura, sofrida por esta partícula, no instante t=2.
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Sex Nov 13, 2020 10:44

Consegui resolver! O professor estava certo!
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor DanielFerreira » Sex Nov 20, 2020 14:15

A taxa de variação da temperatura será dada por \boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}}}, onde \mathbf{z = x^2y - xy}, \mathbf{x(t) = t^2 - 3} e \mathbf{y(t) = 3t}.

Daí, temos que:

\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy - y}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - x}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{dx}{dt} = 2t}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{dy}{dt} = 3}


Substituindo,

\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = (2xy - y) \cdot 2t + (x^2 - x) \cdot 3} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = 4txy - 2ty + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8xy - 4y + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8 \cdot (t^2 - 3) \cdot 3t - 4 \cdot 3t + 3(t^2 - 3)^2 - 3(t^2 - 3)} \\\\\\  \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 48 - 24 + 3 - 3} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 24}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Dom Nov 22, 2020 05:02

Obrigado! ;)
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D