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Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Qua Nov 11, 2020 02:22

Bom dia, amigos!
Faço Licenciatura em Matemática na Univesp.
Gosto de assistir as video-aulas pausando os exercícios e resolvendo-os antes de ver a resposta.
Ao tentar fazer o exercício abaixo, a minha solução deu diferente da do professor.
Gostaria de uma opinião de vocês para eu saber se fiz certo e o professor se equivocou (às vezes acontece...) ou o contrário.
Segue o exercício (a minha resposta deu -12 e a do professor +24):

A temperatura em uma superfície é dada por z=f(x,y)= x²y - xy. Uma partícula se desloca sobre esta superfície pela curva γ(t)=(t²-3, 3t) [onde (t²-3) é a coordenada x(t) e 3t é a coordenada y(t)].
Determine a taxa de variação de temperatura, sofrida por esta partícula, no instante t=2.
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Sex Nov 13, 2020 10:44

Consegui resolver! O professor estava certo!
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor DanielFerreira » Sex Nov 20, 2020 14:15

A taxa de variação da temperatura será dada por \boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}}}, onde \mathbf{z = x^2y - xy}, \mathbf{x(t) = t^2 - 3} e \mathbf{y(t) = 3t}.

Daí, temos que:

\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy - y}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 - x}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{dx}{dt} = 2t}

\mathsf{\bullet \qquad \frac{dy}{dt} = 3}


Substituindo,

\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = (2xy - y) \cdot 2t + (x^2 - x) \cdot 3} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt} = 4txy - 2ty + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8xy - 4y + 3x^2 - 3x} \\\\\\ \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 8 \cdot (t^2 - 3) \cdot 3t - 4 \cdot 3t + 3(t^2 - 3)^2 - 3(t^2 - 3)} \\\\\\  \mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 48 - 24 + 3 - 3} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{dz}{dt}|_{t = 2} = 24}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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Re: Cálculo II - Regra da Cadeia para várias variáveis

Mensagempor Guga1981 » Dom Nov 22, 2020 05:02

Obrigado! ;)
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.