A racionalização foi feita daquela forma por causa das propriedades da radiciação e da potenciação. Ou seja, na potenciação, quando multiplicamos um número de base x por exemplo, elevado a algum número e outro com base também x elevado a outro número qualquer, mantemos a base e somamos os expoentes.
Para a radiciação, existe uma propriedade que diz que quando temos a raiz 'n' de algum número elevado à um expoente 'a', podemos reescrever esta raiz em forma de fração, onde, neste caso ficaria a/n.
Vou te dar alguns exemplos:
1) Potenciação:
2) Radiciação:
3) Juntando a Radiciação e a Potenciação ficará (O último é o caso da nossa racionalização que foi feita) -
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE! - Isto que estou explicando somente é válido para MULTIPLICAÇÃO de radicais de Índices e radicandos IGUAIS:Primeiramente:
'n' se chama "Índice", 'a' é radicando e o conjunto todo é chamado de radical.
Quando temos o mesmo índice (veja o exemplo dado onde o índice é o número 3) e o radicando é o mesmo (no caso do exemplo, o radicando é o 'x'), então, podemos diretamente escrever o radical usando o mesmo índice (3), o mesmo radicando (x) e finalmente, usando a propriedade da multiplicação de potências, somar os expoentes.
Veja mais exemplos:
Finalmente, respondendo agora sua pergunta, para podermos "eliminar" a raiz que estava no denominador, precisaríamos multiplicar por algo que fizesse com que a raiz desaparecesse. Como tínhamos:
no denominador, teríamos que encontrar 'algo' que se multiplicássemos por ele faríamos com que a raiz 'desaparecesse'. Assim, para que a raiz desapareça teríamos que encontrar alguma coisa que tivesse o mesmo índice, o mesmo radicando, mas cuja
SOMA dos expoentes fizesse com o expoente se tornasse 3 pois:
Como não podemos apenas multiplicar o denominador por
porque mudaria o resultado final, temos então que multiplicar e dividir por ele mesmo (que na realidade seria multiplicar por 1, o que não muda o resultado em nada por estarmos multiplicando um número dividido por ele mesmo), então multipliquei em cima e embaixo (numerador e denominador) por:
Espero que tenha compreendido.
Eu faço a diferença. E você?
Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali