[Cálculo I] Concavidade - Ponto de Inflexão

por **Pessoa Estranha** » Ter Nov 18, 2014 00:38

Olá, pessoal! Preciso de ajuda para o seguinte exercício: "Determinar onde o gráfico da função dada tem concavidade positiva, onde a concavidade é negativa e obter os pontos de inflexão, caso existam."

$\sqrt[5]{x-2}$

Fiz o seguinte:

Derivei duas vezes a função dada, chegando à: $\frac{-4}{25 {(x-2)}^{\frac{9}{5}}}$ . Daí, não há pontos reais para os quais a derivada segunda da f se anula. Contudo, x = 2 está no domínio da f e é, realmente, a abscissa do ponto de inflexão, mas como chegar neste resultado usando as derivadas e sem observar o gráfico da f? Pq não deu certo?

Por favor, eu preciso muito de ajuda!

Muito Obrigada!

por **adauto martins** » Qua Nov 19, 2014 11:46

$f(x)=\sqrt[5]{x-2}=0\Rightarrow x=2$ ,x=2 e o ponto onde f,cruza o eixo xx... $df/dx=(1/5)1/(\sqrt[5]{{x-2}^{4}})=0\Rightarrow$ nao existem pontos nem de maximos e minimos,mas a funçao e crescente,pois $df/dx\succ 0$ ,p/ qquer x do dominio, $x\neq 2$ ... $({df/dx})^{2}=(-4/25)(\sqrt[5]{({x-2})^{9}})=0$ $\Rightarrow$ q. nao tem concavidades...portanto f e uma funçao sem pontos criticos,mas cresce indefinidamente,pois $\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt[5]{x-2})=\infty$ ...

por **trickpsv** » Sex Nov 21, 2014 16:06

Bem, não podemos esquecer que ponto de inflexâo é onde a função muda de concavidade, e não necessariamente onde a segunda derivada é 0, ela pode também não existir.

Analisando o gráfico da função dada vemos claramente que a função muda de concavidade no ponto x=2. Utilizando a derivada de ordem 2, basta verificar se há algum ponto onde ela é igual a 0 ou ela onde não está definida, nesse caso x=2.

Depois basta tomar um valor menor que 2 para x e outro maior que 2 e verificar se mudou o sinal da segunda derivada, se sim, é ponto de inflexão.