[Derivadas Parciais] da função em um ponto indicado

por **Marcos07** » Seg Jun 30, 2014 01:57

f(x,y) =arctg (y/x) no ponto p =(x,y), sendo x ? 0 ?

Até compreendo a noção de derivadas parciais, mas tenho extrema dificuldade em exemplos que envolvam arco-tangente (arctg).

por **e8group** » Seg Jun 30, 2014 11:53

Primeiro vamos determinar a derivada de arctan .(As parciais são análoga ) .

Tome $\phi(t) = arctan(t)$ , equivalentemente $tan(\phi(t) ) = tan( arctan(t)) = t$ .

Derivando-se com respeito a t , tem-se

$[tan( arctan(t))]' = tan'(arctan(t)) \cdot \phi'(t) = t' = 1$ (no lado esquerdo vc derivada a função tangente e avalia ela em $\phi(t) = arctan(t)$ ) sse

$sec^2( arctan(t) ) \cdot \phi'(t) = 1$ sse $[tan^2(arctan(t)) +1] \cdot phi'(t) = 1$ sse

$(t^2 +1) \phi'(t) = 1$ sse $\phi'(t) = \frac{1}{t^2 +1}$ .

O raciocínio é análogo também p/ arcsin , arccos , ...., e todas funções as quais admite inversa .

Deixe

qualquer função real de uma variável . Agora derivamos pela regra da composta ,

$[\phi(g(t))]' = \phi'(g(t)) \cdot g'(t) = \frac{g'(t)}{1+[g(t)]^2} (*)$ .

No caso de funções reais de duas variáveis ou mais , a regra acima é verdadeira , pois se $g : \Omega \subset \mathbb{R}^n \mapsto \mathbb{R} ;$ . Para cada $i =1,2,3 \hdots , n$ ,fixamos x_j

sobre todos índices distintos de i entre 1 e n e fazemos x_i

variar-se .

Podemos definir uma função real h_i

de uma variável a qual depende de x_i ( suponha que classe C^1 , diferenciável ) . Temos

$h_i(x_i) = g(x_1, \hdots , x_n)$ . Logo , derivar-se parcialmente $\phi (g(x_1, \hdots , x_n))$ com respeito à x_i