[limites notáveis]exercício

por **fff** » Seg Fev 10, 2014 19:35

Boa noite, não consigo calcular estes limites:
$\lim_{x \to +\infty }\frac{ln(2e^{2x}+e^{x}-3)}{x}$
R:2
$\lim_{x \to +\infty }(ln(2e^{2x}+e^{x}-3)-2x)$
R:ln2

por **e8group** » Seg Fev 10, 2014 20:16

Boa noite .

Dica :

Para o primeiro , podemos utilizar o teorema do confronto . Para tal , note que

$3e^{2x} (1 - \frac{1}{e^{2x}})=3(e^{2x} -1) =2e^{2x} + e^{2x} -3 \geq 2e^{2x} + e^x -3 \geq e^{2x}$ para todo

.

Daí , aplicando o ln na desigualdade , vem :

$2x + ln(3) + ln (1 - \frac{1}{e^{2x}}) \geq ln(2e^{2x} + e^x -3) \geq 2x$ .

E assim , multiplicando-se a inequação por 1/x

para

, obtemos

$2 + \frac{1}{x} \cdot ln(3)+\frac{1}{x} \cdot ln (1 - \frac{1}{e^{2x}}) \geq \frac{ln(2e^{2x} + e^x -3)}{x} \geq 2$ .

Logo , pelo teorema do confronto o limite é 2 .

Tem outra ideia ?Pensou em resolve-ló de outra forma ?

O segundo limite é mais simples , basta notar que $2x = ln(e^{2x})$ e em seguida utilizar a propriedade log_a(d) - log_a(k) = log_a(d/k)

.

Comente as dúvidas .

por **fff** » Ter Fev 11, 2014 14:57

Pensei fazer uma mudança de variável: ${e}^{x}=y$ , mas não consegui chegar ao resultado.
Em relação à 2ª, já consegui fazer:
$\lim_{x\rightarrow +\propto} ln({2e}^{2x}+{e}^{x}-3)-ln({e}^{2x})=\lim_{x\rightarrow +\propto} ln(\frac{{2e}^{2x}+{e}^{x}-3}{{e}^{2x}})=\lim_{x\rightarrow +\propto}ln(2+{e}^{-x}-\frac{3}{{e}^{2x}})=ln(2+0-\frac{3}{+\propto})=ln(2+0-0)=ln(2)$

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