[Limites] - Epusp-SP

por **Gabriel Doria** » Qui Dez 26, 2013 17:22

Calcule $\lim_{x\to1^+}{f(x)}$ sabendo que, para todo x>1, (x-1)^2<(x^2-1)f(x)<(x+1)^2

por **e8group** » Qui Dez 26, 2013 22:33

Tem certeza que não há erro no enunciado ? Na forma que o mesmo foi postado não há como computar o limite em questão , só dá p/ mostrar que o mesmo é finito .

Justificativa :

Mostremos que é possível determinar pelo menos duas funções que satisfaz a desigualdade dada e possui limites distintos quando x tende 1 pela direita .

Como x > 1

,ao dividimos a desigualdade por x^2 - 1 > 0

obteremos

$\frac{x-1}{x+1} < f(x) < \frac{x+1}{x-1} , x > 1$ .

Segundo ,definimos as funções $g ,h : (1,+\infty) \mapsto \mathbb{R}$ dadas por

$g(x) = \begin{cases} 3-x ; 1 < x \leq 2 \\ 1 ; x > 2 \end{cases}$ e

$h(x) = \begin{cases} 4-x ; 1 < x \leq 2 \\ 1 ; x > 2 \end{cases}$

Pode verificar-se que ambas satisfazem a desigualdade dada e além disso

$\lim_{x\to 1^+} g(x) = 2 \neq \lim_{x\to 1^+} h(x) = 3$ .

Há outras possibilidades ... Se definirmos $g_i(x) = \begin{cases} a_{i1}x + a_{i2} ; 1 < x \leq 2 \\ 1 ; x > 2 \end{cases}$ .(a_{ij} ,c constantes fixadas ) [i=0,1,2,...] .Pondo ,

$\lim_{x \to 1^+} g_i(x) \neq \lim_{x \to 1^+} g_j(x) ,\forall i\neq j$ (ambos positivos) e $\frac{2-1}{2+1} < g_{i}(2) < \frac{2+1}{2-1}$ . Impondo que o primeiro o limite seja igual a k_1 > 0

e para certas escolhas g_j(2)

(que condiz com nossa hipótese ) será possível determinar as constantes $a_{ij}$ e portanto g_i

estará bem definido ...

Na minha opinião o argumento acima garante que não há a dizer sobre $\lim_{x\to 0^+} f(x)$ ,exceto se há mais informações sobre

e se o enunciado está incorreto .

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