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[INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

[INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Matemagica » Sáb Dez 14, 2013 05:31

É possível calcular a área da região B delimitada pelas curvas x = y² + 1 e x + y = 3? Se sim, calcule.

Sei que posso encontrar a área do conjunto de integração B através da integral dupla da função constante f(x,y) = 1, assim:
{A}_{B}=\int_{} \int_{B} 1  dx dy

mas como calcular a área compreendida entre essas curvas?
Quer dizer, como transformo a área entre elas no meu conjunto B?

Pensei em fazer a interseção delas, para ver onde se encontram.. fiz isso:

y = {x}^{2} + 1

x + y = 3

 \Rightarrow x + ({x}^{2} + 1) = 3 

\Rightarrow  {x}^{2} + x - 2 = 0

\Rightarrow x = 1 ou x = -2

assim, vai estar variando em [-2,1] em x.

e y variando entre as funções,
y = {x}^{2} + 1
e
x + y = 3 
\Rightarrow y = 3 - x

só que então, preciso descobrir qual curva está 'abaixo' e qual está 'em cima'.
para isso, peguei um valor entre x pertencente a ]-2,1[. por exemplo, x = 0

assim,
y = {0}^{2} + 1
\Rightarrow y = 1
e
y = 3 - 0 
\Rightarrow y = 3

logo, varia em y, entre (nessa ordem)
y = {x}^{2} + 1
e
y = 3 - x

e aí, ficaria mais ou menos assim o cálculo dessa área:


\int_{-2}^{1} \int_{{x}^{2} + 1}^{3 - x} dy dx

é isso mesmo, galera?
e se estiver correto, o que acharam da minha 'metodologia'? há um modo mais direto? o que vocês mudariam?

obrigado pela ajuda e aguardo sua resposta!!
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Re: [INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Matemagica » Sáb Dez 14, 2013 20:25

alguém pode me ajudar? só quero saber se o que fiz está correto :/
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Re: [INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Russman » Sáb Dez 14, 2013 23:51

Sim. Na verdade a utilização da integral dupla nem era necessária. Bastava que você subtraí-se a área delimitada por y=3-x pela de y=x^2 + 1. Mas, já que vem a integral no exercício, você pode aplicá-la( como você fez) e perceber que os cálculos são s mesmo.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}