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[INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

[INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Matemagica » Sáb Dez 14, 2013 05:31

É possível calcular a área da região B delimitada pelas curvas x = y² + 1 e x + y = 3? Se sim, calcule.

Sei que posso encontrar a área do conjunto de integração B através da integral dupla da função constante f(x,y) = 1, assim:
{A}_{B}=\int_{} \int_{B} 1  dx dy

mas como calcular a área compreendida entre essas curvas?
Quer dizer, como transformo a área entre elas no meu conjunto B?

Pensei em fazer a interseção delas, para ver onde se encontram.. fiz isso:

y = {x}^{2} + 1

x + y = 3

 \Rightarrow x + ({x}^{2} + 1) = 3 

\Rightarrow  {x}^{2} + x - 2 = 0

\Rightarrow x = 1 ou x = -2

assim, vai estar variando em [-2,1] em x.

e y variando entre as funções,
y = {x}^{2} + 1
e
x + y = 3 
\Rightarrow y = 3 - x

só que então, preciso descobrir qual curva está 'abaixo' e qual está 'em cima'.
para isso, peguei um valor entre x pertencente a ]-2,1[. por exemplo, x = 0

assim,
y = {0}^{2} + 1
\Rightarrow y = 1
e
y = 3 - 0 
\Rightarrow y = 3

logo, varia em y, entre (nessa ordem)
y = {x}^{2} + 1
e
y = 3 - x

e aí, ficaria mais ou menos assim o cálculo dessa área:


\int_{-2}^{1} \int_{{x}^{2} + 1}^{3 - x} dy dx

é isso mesmo, galera?
e se estiver correto, o que acharam da minha 'metodologia'? há um modo mais direto? o que vocês mudariam?

obrigado pela ajuda e aguardo sua resposta!!
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Re: [INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Matemagica » Sáb Dez 14, 2013 20:25

alguém pode me ajudar? só quero saber se o que fiz está correto :/
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Re: [INTEGRAL DUPLA] Área do conjunto de integração

Mensagempor Russman » Sáb Dez 14, 2013 23:51

Sim. Na verdade a utilização da integral dupla nem era necessária. Bastava que você subtraí-se a área delimitada por y=3-x pela de y=x^2 + 1. Mas, já que vem a integral no exercício, você pode aplicá-la( como você fez) e perceber que os cálculos são s mesmo.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D