Integral

por **joedsonazevedo** » Sex Out 25, 2013 23:48

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por **e8group** » Sáb Out 26, 2013 12:37

Dica :

Primeiramente faça um esboço das três curvas (esta tarefa costuma ser difícil ,neste caso não ! ),em seguida verifiquemos se há pontos em comum entre os pares de curvas possível. Assim, com estes dados conseguiremos construir o conjunto R que é a região limitada pelas curvas dadas . Está é a primeira etapa . Vamos verificar se estas curvas possuem pontos em comum ,porém antes , note que as funções $f : x \mapsto 4/x , g : x \mapsto x/4$ são dadas implicitamente por x f(x) = 4

e

(aqui trocamos y por g,f ).

O gráfico das funções g e y

se intersectam apenas na origem (é fácil ver! ) . Agora suponhamos que o par ordenado (a,b) pertence ao gráfico das funções g,f

.Então :

,logo

. Ou seja ,

b = a/4 = 4/a

. Resolvendo , encontrará $a =\pm 4$ .

Então , (4,1),(-4,-1) são os pontos que pertencem ao mesmo tempo ao gráfico de g,f .

De forma análoga , podemos determinar a interseção entre os gráficos das funções f e y .Fazendo isto , obterá estes pontos que são :

(1,4),(-1,-4)

.

Agora tente prosseguir , se não conseguir post .

por **joedsonazevedo** » Sáb Out 26, 2013 18:20

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por **e8group** » Sáb Out 26, 2013 20:45

Recomendo que faça um esboço p/ acompanhar o raciocínio . Vamos trabalhar a principio apenas sobre a região limitada entre as três funções no primeiro quadrante .

Observe que a área desta região pode ser calculada através das áreas de duas regiões , a primeira limitada pelas funções y , g

para $x \in [0,1]$ e a segunda limitada pelas funções f,g

para $x \in [1,4]$ . As áreas destas regiões podem ser obtidas respc. por :

$\int_{0}^{1} (y(x) - g(x))dx = \int_{0}^{1} (4x - x/4 )dx$

e

$\int_{1}^{4} (f(x)- g(x)) dx = \int_{1}^{4} (4/x - x/4 )dx$ .

Somando estas expressões , obtemos a área procurada

$\int_{0}^{1} (y(x) - g(x))dx + \int_{1}^{4} (f(x)- g(x)) dx = \int_{0}^{1} (4x - x/4 )dx + \int_{1}^{4} (4/x - x/4 )dx$ ou ainda se preferir :

$\int_{0}^{1} y(x) dx + \int_{1}^{4} f(x)dx - \int_{0}^{4} g(x) dx = \int_{0}^{1} 4x dx + \int_{1}^{4} 4/x dx -\int_{0}^{4} x/4 dx$ .

OBS.:

Por simetria , podemos obter a área total da região multiplicando o resultado acima por 2 .