[Continuidade, Derivada Parcial e Função Diferenciável]

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[Continuidade, Derivada Parcial e Função Diferenciável]

Mensagempor raimundoocjr » Qui Out 24, 2013 17:28

Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy^2}{x^2+y^2} \ se \ (x, y)\neq (0, 0)& & \\ 0 \ se \ (x, y)=(0, 0) & & \end{matrix}\right.
(a) f(x, y) é contínua em (0, 0)?
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^2}{x^2+y^2}=(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x vai a zero.
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2}: é limitada.
Então,
(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})=0=f(0, 0)
É contínua.
(b) f(x, y) tem derivadas parciais em (0, 0)?
Sim,
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0, 0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{0}{x}=0
\lim_{y\rightarrow 0} \frac{f(y, 0)-f(0, 0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0} \frac{0}{y}=0
(c) f(x, y) é diferenciável em (0, 0)?
Justifique suas respostas.

Como faço o item c?
raimundoocjr
 
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !

Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.

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