Integral por Partes

por **marinalcd** » Qua Set 18, 2013 15:45

Tenho que resolver a seguinte integral pelo método de integração por partes: $\int-{y}^{2}.e^{y}dy$

Fiz assim:
u=y² ; du = 2y dy.
dv = $-e^{y}$ ; v = $-e^{y}$ .

Então a integral ficaria:
-y² $e^{y}$ - $\int-e^{y}.2ydy$

resolvendo essa outra integral também por partes, cheguei em : 2y $e^{y}$ - $2e^{y}$ +c.

Mas no gabarito está que a solução dessa última integral é 2y $e^{y}$ - $e^{y}$ +c.

Não consegui entender o porquê do 2 não estar multiplicando o exponencial. Alguém sabe me dizer?
Obrigada!

por **temujin** » Sex Set 20, 2013 21:12

Olá.

Não tá faltando algo aí??

Veja:

u=y^2, u'=2y, v'=e^y, v=e^y

Logo,

$-\int y^2e^ydy = -y^2e^y+\int 2ye^y dy$

De novo por partes:

u=2y, u'=2, v'=e^y, v=e^y

Logo,

$\\ -y^2e^y+\int 2ye^y dy = -y^2e^y+2ye^y-\int 2e^y dy = -y^2e^y+2ye^y-2e^y + C = -e^y(y^2-2y+2)+C$

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