[Derivada]

por **lucasdemirand** » Dom Ago 25, 2013 11:56

olá amigos, estou com uma duvida para a realização do seguinte problema,
encontre a derivada de :
$f(x)= {\left[tg(x) \right]}^{{e}^{x}+4}$

por **Pessoa Estranha** » Dom Ago 25, 2013 14:49

lucasdemirand escreveu:olá amigos, estou com uma duvida para a realização do seguinte problema,
encontre a derivada de :
$f(x)= {\left[tg(x) \right]}^{{e}^{x}+4}$

Olha, você pode pensar assim: ${g(x)}^{h(x)}$ =f(x)

, onde

e $h(x)={e}^{x}+4$ .

Daí, antes de passarmos para a fórmula, pensemos um pouco: observe que tomando f(x)=y

(apenas para facilitar), vem que:

$y = {g(x)}^{h(x)}\rightarrow lny=ln({g(x)}^{h(x)})\rightarrow lny=h(x).ln(g(x))$ .

Então:

${e}^{lny}={e}^{h(x).ln(g(x))}$ $\rightarrow y = {e}^{h(x).ln(g(x))}$

Ou seja:

$f(x)= {e}^{h(x).ln(g(x))}$

$f(x)={e}^{({e}^{x}+4).ln(tg(x))}$

Derivando:

$f´(x)={e}^{({e}^{x}+4).ln(tg(x))}.[({e}^{x}+4).ln(tg(x))]´$

Aí, basta aplicar regra da derivada do produto:

$(({e}^{x}+4).ln(tg(x))´= [({e}^{x}+4)´.ln(tg(x))]+[ln(tg(x)).({e}^{x}+4)]=$

$=[({e}^{x}).ln(tg(x))]+[\frac{cosx}{senx}.({e}^{x}+4)]$

$f´(x)={e}^{({e}^{x}+4).ln(tg(x))}.[({e}^{x}).ln(tg(x))]+[\frac{cosx}{senx}.({e}^{x}+4)]$

Por favor, desconsidere estes "Â" (ainda não sei o motivo pelo qual aparecem).

Espero que esteja certo. Você tem a resposta? Se sim, coloque aqui.

O que eu fiz foi usar as funções logaritmo na base

e a exponencial também de base

, pois uma é o inverso da outra. Depois, concluindo, apliquei o restante da fórmula de derivada de função composta. Pode ser que, às vezes, eu acabe errando em alguma conta, mas a ideia é esta.

Espero ter ajudado.

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