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[Derivada]derivada de função de raiz cúbica

[Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor armando » Sáb Jul 20, 2013 15:22

Olá a todos.

Dada a função :

f(x)=\sqrt[3]{\frac{3}{x^2}}

Tenho dúvidas quanto à solução dada no livro de onde retirei a questão. Que é como se segue:

f^,(x)=-\frac{2\sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{-\frac{7}{5}

Tanto quanto sei a fórmula para a derivada de uma raiz é : y^,=m\cdotu^{m-1}\cdot u^,

ou, esta outra: y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,

A derivada do radicando,u= (\frac{3}{x^2}) aplicando a fórmula de resolução do quociente dá u^, =(-\frac{6}{x^3}). Aplicando no lugar correto da/s fórmula/s, e desenvolvendo qualquer uma delas na integra deveríamos chegar á solução dada. Facto que aliás não consegui.
A minha dúvida é a seguinte:__ Será que a solução está errada ? Ou me estão faltando alguns artifícios matemáticos para conseguir chegar a ela ?
Gostava que alguém resolvesse a questão na integra,até à simplificação máxima para verificação, e assim tirar minha dúvida.

Grato pela atenção
armando
Editado pela última vez por armando em Sáb Jul 20, 2013 16:17, em um total de 1 vez.
armando
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor MateusL » Sáb Jul 20, 2013 15:49

Armando, apesar de ter ficado meio vago o seu pedido, acredito, pelo título deste tópico, que queres descobrir a derivada de f(x)

Basta notar que:

\dfrac{d x^n}{dx}=n\cdot x^{n-1}

E que f(x) pode ser escrito como:

f(x)=\sqrt[3]{3}\cdot x^\frac{-2}{3}

Abraço!
MateusL
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor armando » Sáb Jul 20, 2013 16:44

Olá MateusL .

É possível que o meu pedido lhe parecesse meio vago no momento em que você o viu. Dado que logo no início,quando o estava iniciando me descuidei, e sem querer clikei em Enviar. Creio que foi esse o motivo.
armando
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor MateusL » Sáb Jul 20, 2013 17:01

Armando, não seria f(x)=\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}?

Porque só assim o resultado iria fechar.

Se for, basta notar que:

f(x)=\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}}

E, como \dfrac{dx^n}{dx}=n\cdot x^{n-1}:

\dfrac{df(x)}{dx}=\dfrac{d(\sqrt[5]{3}\cdot x^{-\frac{2}{5}})}{dx}=\sqrt[5]{3}\cdot \dfrac{d x^{-\frac{2}{5}}}{dx}=\sqrt[5]{3}\cdot \dfrac{-2}{5}\cdot x^{-\frac{2}{5}-1}=-\dfrac{2\sqrt[5]{3}}{5}\cdot x^{-\frac{7}{5}}

Qualquer dúvida, só perguntar!
Abraço!
MateusL
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Re: [Derivada]derivada de função de raiz cúbica

Mensagempor armando » Dom Jul 21, 2013 22:17

Olá Mateus.

De facto você tinha razão. Na verdade eu me enganei ao transcrever o enunciado aqui para o fórum. Efetivamente, como pude verificar com mais atenção no livro de onde o saquei, em vez de raiz cubica, está de facto raiz quinta. Assim, já consegui chegar à solução por uma das fórmulas que referi.
Obrigado por compartilhar a sua perspicácia, e me alertar para o meu erro.

Abraço !
armando
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.