Derivadas Parcias (Diferenciais): tx de variação área/vol

por **jpreis** » Sáb Jul 13, 2013 15:36

Prezados Colegas, boa tarde.

Peço ajuda para resolver o seguinte problema:

A areia é derramada num monte cônico na velocidade de 4m^3 por minuto. Num dado instante, o monte tem 6m de diâmetro e 5m de altura. Qual a taxa de aumento da altura nesse instante, se o diâmetro aumenta na velocidade de 2cm por minuto? Resposta: 0,39m/min.

Como tentei resolver: o enunciado apresenta duas variações (diâmetro e altura) para o cone; desta forma, tentei utilizar a equação do volume do cone: $v = \frac{\pi.{R}^{2}.h}{3}$ , derivando-a em função do raio (diâmetro/2) e em função da altura: $V' (R) = \frac{2\pi.R.h}{3}$ e $V' (h) = \frac{\pi.{R}^{2}}{3}$ e ainda, relacionando as derivadas com suas respectivas taxas de variação: dh=? (que é a resposta que estou tentando obter) e dR=2cm/min (aqui já me surge a 1ª dúvida: quem varia em 2cm/min é o diâmetro e não o raio, para o raio posso utilizar a variação em 1cm/min? ou devo utilizar como variação [dR] a variação da área da circunferência formada na base do cone [dAc]?). 2ª dúvida: não sei como incluir nos cálculos a vazão enunciada no problema (4m^3 por minuto)... bom pessoal, tentei desta forma e não saí do lugar, não parece algo complicado, mas sinceramente tenho dificuldades em extrair e organizar as informações de forma correta em problemas envolvendo o cálculo.

Desde já agradeço a ajuda, forte abraço!

jpreis

por **young_jedi** » Sáb Jul 13, 2013 17:23

certo o volume é dado pela equação que você colocou

$V=\frac{\pi.R^2.h}{3}$

agora achando a derivada do volume teremos

$\frac{dV}{dt}=\frac{\pi.2R.h}{3}.\frac{dR}{dt}+\frac{\pi.R^2}{3}.\frac{dh}{dt}$

como já sabe qual é a taxa de variação do volume e a do diâmetro assim como o valor do diâmetro e da altura, é so substituir na equação obtendo

$4=\frac{\pi.2.3.5}{3}.0,01+\frac{\pi.3^2}{3}.\frac{dh}{dt}$

é so encontrar a taxa de variação da altura agora, comente qualquer coisa