Separação de variáveis e Integração

por **Jhenrique** » Qui Mai 09, 2013 20:34

Fala pessoal, blz!?

Dúvida: vejam este vídeo: http://www.youtube.com/watch?v=FEnNgUfE0qM?t=2m55s. Notem que a equação diferencial, (2y+1)dy=(2x)dx

, é solucionada integrando-se os dois membros da igualdade, assim: $\int (2y+1)dy=\int (2x)dx$ . Ok...

No entanto, lembrando que a definição de integral é $\int f(x)dx$ , pergunto: ao adicionar o sinal $\int$ na equação, não faltou adicionar o sinal

também? Quero dizer, o

e o

da equação $\int (2y+1)dy=\int (2x)dx$ não são das integrais, eles já estavam aí antes das integrais aparecerem: (2y+1)dy=(2x)dx

. Como me explicam isto?

Obg!

por **Russman** » Qui Mai 09, 2013 23:06

Na verdade existem várias interpretações para as integrais. São somatórios, são operadores, etc...

O método de resolver as eq. df. dessa forma é um exemplo onde a integral é aplicada como operador inverso ao operador diferencial. A forma que é exposta a solução é uma forma operacional, e não formal. Seria necessário estudar melhor esse tipo de equação para deduzir-seque a sua solução pode ser tomada dessa forma. Mas acredito que a interpretação da integral como operador lhe esclarece um pouco o método, não?

por **Jhenrique** » Sex Mai 10, 2013 10:25

Esclarece +/- pois isso parece implicar no seguinte... suponha a equação $y = \gamma$ , então tanto faz integrar assim $\int y =\int \gamma$ ou assim $\int y dx=\int \gamma dx$

por **Russman** » Sex Mai 10, 2013 10:37

Não faz sentido aplicar a interal em funções isoladadas! Você precisa ter o diferencial de algo, pois a integral é o limite de uma soma de variações de uma dada variável. Estude a obtenção da área de curvas no plano que você vai entender o que estou dizendo.

por **Jhenrique** » Sex Mai 10, 2013 17:11

Tô sacando...

Outra possibilidade para a mesma equação (2y+1)dy=(2x)dx

é dividi-la por um diferencial qualquer, assim
$(2y+1)\frac{dy}{d...}=(2x)\frac{dx}{d...}$ . Correto?

E se a equação fosse esta $(2y+1)\frac{1}{dx}=(2x)\frac{1}{dy}$ , então acho que é possível multiplicá-la por um diferencial qualquer, assim $(2y+1)\frac{d...}{dx}=(2x)\frac{d...}{dy}$ , OU aplicar o diferencial no numerador assim $\frac{d(2y+1)}{dx}=\frac{d(2x)}{dy}$ . Certo?

por **Russman** » Sex Mai 10, 2013 22:03

Mas qual o intuito de dividí-la pelo diferencial? Não se esqueça que os diferenciais de y e x não são independentes, pois y é função de x. A última relação que voce escreveu não é correta. Essas manipulações dos diferenciais como se fossem variáveis algébricas só podem ser assim por uma razão bem definida...se fossem derivadas parciais a manipulação de ''passa pra um lado multiplicando e pro outro dividindo'' não funciona. Cuidado.

por **Jhenrique** » Sáb Mai 11, 2013 15:36

O intúito é de tomar ciência de todos os casos possíveis, de saber quais são as alternativas que esta ferramenta (ED) me fornece. Para evitar pasmos, como o do operador de integração, p ex.

Agora eu consegui enxergar que integração e derivação são operações que combinam necessariamente duas variáveis e dois operadores. O que está obscuro para mim, é saber quando a manipulação desses elementos altera a igualdade...

Por exemplo, tomando a seguinte equação $\frac{x\times y}{z}=\frac{y\times x}{z}$

É verdade que $\frac{d(x\times y)}{dz}=\frac{d(y\times x)}{dz}$

e que $\frac{\int x\;dy}{z}=\frac{\int x\;dy}{z}$

Mas não é verdade que $\frac{x\times dy}{dz}=\frac{y\times dx}{dz}$

ou que $\frac{\int x\;dy}{z}=\frac{\int y\;dx}{z}$

Fiquei confuso...