Retas tangentes ao gráfico

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Retas tangentes ao gráfico

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Retas tangentes ao gráfico

Mensagempor Marcos_Mecatronica » Sáb Abr 27, 2013 19:58

Mostre que existem exatamente duas retas tangentes ao gráfico de y=(x+1)^3 que passam pela origem.Dê as equações dessas retas.
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Re: Retas tangentes ao gráfico

Mensagempor young_jedi » Dom Abr 28, 2013 12:16

se são equações que passam pela origem então elas são

y=ax

a é a inclinação da reta sendo esta tangente a curva então ela é igual a derivada da equação no ponto

\frac{dy}{dx}=3(x+1)^2

então a equação sera

y=3(x_1+1)^2x

mais como no ponto de tangencia a reta e a cruva se interceptam então

(x+1)^3=3(x+1)^2x

x^3+3x^2+3x+1=3x^3+6x^2+3x

2x^3+3x^2-1=0

podemos ver que -1 é uma das raizes então temos

(x+1)(2x^2+x-1)=0

as raizes do polinomio de segundo grau são -1 e 1/2 então

2(x+1)^2(x-\frac{1}{2})=0

portanto os dois pontos de tangencia onde a reta tangente passa pela origem são em x=-1 e x=1/2 portanto nos temos que

a=3(-1+1)^2

a=0

portanto uma das retas tangente é

y=0

ou

a=3(\frac{1}{2}+1)^2

a=\frac{27}{4}

então a outra reta é

y=\frac{27}{4}x
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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