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Questões Integral Definida, Áreas e Volumes.

Questões Integral Definida, Áreas e Volumes.

Mensagempor walterdavid » Qui Out 01, 2009 21:21

Boa noite pessoal. Estou com dúvida em algumas questões se puderem me ajudar seria ótimo.

1.resolver pelo teorema fundamental do cálculo
\int_{-3}^{4}\left | x+1 \right |dx
no meus livros não constam resolução com módulo entao não sei nem como começar

2
\int_{1}^{e^{\frac{\Pi }{4}}}\frac{4}{t\left ( 1+ln^2t \right )}dt
dispensa e

3
\int_{0}^{1}10^xdx

4: encontre os valores de c tal que a área da região limitada pelas parábolas y=x^2 - c^2 e y=c^2 - x^2 seja 576.
essa eu já tentei de tudo. mas esto com dificuldades pra enxergar a interseção formada e consequentemente os limites de integração. seria de -c á c? por que para descobrir os limites de int. em uma equação de área faz-se a interseção das equações certo?

agradeço a ajuda
Walter
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Re: Questões Integral Definida, Áreas e Volumes.

Mensagempor Lucio Carvalho » Sex Out 02, 2009 14:55

Olá Walter,
Tentarei explicar os exercícios.
No 1º exercício, devemos lembrar que f(x) = |x + 1| =
-(x + 1) se x < -1
(x + 1) se x >= -1

Assim:

\int_{-3}^{4}|x+1|dx=\int_{-3}^{-1}(-x-1)dx+\int_{-1}^{4}(x+1)dx

\int_{-3}^{4}|x+1|dx=2+12,5=14,5

No 2º exercício, devemos lembrar por integração imediata que:

\int_{}^{}\frac{f'(x)}{1+{f}^{2}(x)}dx=arctg[f(x)]+k

Assim:

\int_{1}^{{e}^{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{t(1+{ln}^{2}t)}dt=4\int_{1}^{{e}^{\frac{\pi}{4}}}\frac{\frac{1}{t}}{1+{ln}^{2}t}dt

\int_{1}^{{e}^{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{t(1+{ln}^{2}t)}dt=4.arctg[ln({e}^{\frac{\pi}{4}})]-4.arctg[ln(1)]

\int_{1}^{{e}^{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{t(1+{ln}^{2}t)}dt=4.arctg(\frac{\pi}{4})

No terceiro exercício, sabemos por integração imediata que:

\int_{}^{}{a}^{x}.ln(a)={a}^{x}+k

Assim:

\int_{0}^{1}{10}^{x}dx=\frac{1}{ln(10)}\int_{0}^{1}{10}^{x}.ln(10)dx

\int_{0}^{1}{10}^{x}dx=\frac{1}{ln(10)}(10-1)=\frac{9}{ln(10)}

No 4º exercício, primeiro determinamos os limites de integração fazendo:

{x}^{2}-{c}^{2}={c}^{2}-{x}^{2}

x=-c (limite inferior)
x=c (limite superior)

Em seguida:

\int_{-c}^{c}[({c}^{2}-{x}^{2})-({x}^{2}-{c}^{2})]dx=576

\int_{-c}^{c}(-2{x}^{2}+2{c}^{2})dx=576

(\frac{-2{c}^{3}}{3}+2{c}^{3})-(\frac{2{c}^{3}}{3}-2{c}^{3})=576

c=\sqrt[3]{216}=6

Espero ter ajudado e até breve!
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Re: Questões Integral Definida, Áreas e Volumes.

Mensagempor walterdavid » Ter Out 06, 2009 20:33

nos cara ajudo demais da conta
muito obrigado mesmo
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}


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