Calculo de vetor normal à curva de equação.

por **Sobreira** » Qua Mar 20, 2013 09:36

O exercício é o seguinte:

O vetor n é normal à curva de equação dada no ponto p.Determine n, nos casos:

a) ${x}^{2}+{y}^{2}=25$ , p= (3,4), $\left|n \right|=5$

Eu calculei o vetor normal através do $\nabla$ f(p).

$\nabla$ = $\left(\frac{df}{dx},\frac{df}{dy} \right)$ = $\left(2x,2y \right)$

Substituindo 3 em x e 4 em y, então o vetor será n (6,8).
Mas a resposta é (3,4), eu sei que como foi especificado o módulo do vetor (5), e com (6,8) não dá módulo 5, a resposta não pode ser (6,8).
Como posso resolver então??

por **nakagumahissao** » Qua Mar 20, 2013 10:31

A idéia está correta ao meu ver, mas com perdão da palavra e somente para ilustrar, creio que melhor notação neste caso seria, ao invés de:

$\nabla$ = $\left(\frac{df}{dx},\frac{df}{dy} \right)$ = $\left(2x,2y \right)$ , ser

$\nabla f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} = 2x \hat{i} + 2y \hat{j}$

No ponto dado, ou seja, P=(3,4), teremos:

$\nabla f(3,4) = 6 \hat{i} + 8 \hat{j}$

Até aqui, creio que não seja novidade. No entanto, como se trata de uma normal, o coeficiente angular seria 8/6 ou seja, 4/3. O que implica em dizer que (2x, 2y) = (x, y) = (3, 4) ao meu ver. Desta maneira, o módulo será de |9 + 16| = |25| = 5. Espero estar ajudando.

por **Sobreira** » Qua Mar 20, 2013 11:17

Cara obrigado pelas dicas com relação às notações.
Agora sinceramente continuo sem entender.Como disse sei que com (6,8) não vou conseguir um módulo igual a 5.Mas daí a ver com quais coordenadas do vetor eu consigo este valor de módulo é que está me dificultando.
Outro exemplo:

b) $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$ , ordenada de p igual a 0, abscissa de p positiva, $\left|n \right|=1$ .

Substituindo 0 na ordenada, fico com:

$\frac{{x}^{2}}{9}=1$

x=3, Então p(3,0)

Resolvendo as derivadas parciais em relação a x e y fica:

$\nabla=\left(\frac{df}{dx},\frac{df}{dy} \right) = \left(\frac{2x}{9},\frac{y}{2} \right)$

Substituindo p(3,0) ficaria $\left(\frac{2}{3},0 \right)$ , mas aí acontece o mesmo caso de o modulo não dá "1", e a resposta desta questão é (1,0).