[função limitada] como reconhecer uma?

por **Fabio Wanderley** » Dom Dez 09, 2012 20:07

Boa noite a todos,

Alguém pode mostrar uma forma prática para se afirmar se uma dada função é limitada ou não?

Por exemplo, a função $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ é limitada. Eu percebo isso intuitivamente. Mas gostaria de aprender uma forma de demonstrar formalmente.

Outro exemplo é a função $\frac{x}{x^2+y^2}$ . Esta não é limitada (vi em um livro). Porém nem intuitivamente consigo notar isso. Assim, gostaria de aprender uma técnica ou demonstração formal a fim de apontar se uma dada função é limitada ou não.

Desde já agradeço!

por **e8group** » Dom Dez 09, 2012 22:29

Para verificar se a função é limitada ,devemos observar se existe uma cosntante (número) pertencente ao domínio da função tal que o valor absoluto da sua imagem é menor ou igual a esta constante para quaisquer que seja os elementos pertencentes ao domínio da função . Ex.

A função

definida por sin(x)

é limitada , pois $\forall x\in D(f) \implies | f(x) | \leq 1$ .Neste caso $Im(f) \in [-1 ,1] \forall x \in \mathbb{R}$ . Faça uma analogia com funções duas variáveis .

Vamos mostra que $\frac{x^2}{x^2 +y^2}$ é uma função limitada .Primeiro note que ,
$x^2 + y^2 \neq 0$ .Isto contradiz apenas quando x = y = 0

. Portanto se x = 0

vamos ter $y \neq 0$ e vice-versa .

Para $x = 0 , y \neq 0$ temos $\frac{x^2}{x^2 +y^2} = 0$ e para $y = 0 , x \neq 0$ segue $\frac{x^2}{x^2 +y^2} = 1$ . Agora para $x , y \neq 0$ vamos ter que :

$0 < \frac{x^2}{x^2 +y^2} < 1$ . Note que, $\forall (x,y) \in \mathbb{R} ^2 \implies x^2 + y^2 > x^2$ .Tome x = - 1

e

é fácil ver que (-1)^2 + (-3)^2 > (-1)^2

e assim sucessivamente .

Já $\frac{x}{x^2 + y^2}$ não podemos fazer a mesma afirmação .

Vale ressaltar que isto é apenas uma idéia intuitiva.Como estar a demonstração no livro ? Se tiver como , poderia postar aqui por favor ?

por **MarceloFantini** » Dom Dez 09, 2012 23:56

Dada uma função arbitrária não dá pra saber se ela é limitada ou não. Normalmente descobre-se isto tomando limites, calculando as derivadas, etc, mas não existe um método propriamente para detectar se a função é limitada ou não.

por **Fabio Wanderley** » Seg Dez 10, 2012 10:53

Muito obrigado pela ajuda, santhiago e MarceloFantini!

santhiago escreveu:Como estar a demonstração no livro ? Se tiver como , poderia postar aqui por favor ?

santhiago, o autor não faz a demonstração. Ele só coloca para as duas funções um "note que".

Saudações!

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