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[ Integral ] Indireta

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Mensagempor Paraujo » Qua Nov 21, 2012 20:35

Fala Galera!

Estou fazendo algumas deduções de Eletromagnetismo, e cheguei numa integral onde não consegui desenvolver:

\int_{}^{}\frac{dx}{{({a}^{2}+{x}^{2})}^{\frac{3}{2}}}

A dica nesse caso é que estamos tratando de um triângulo, onde eu posso substituir alguns termos:

\frac{x}{a} = tan \theta

Consegui encontrar uma identidade trigonométrica nessa transformação:

{sec}^{2}\theta = 1 + {tan}^{2}\theta

Depois daí eu não desenvolvi muita coisa...

Obrigado pela atenção,

Paulo
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Re: [ Integral ] Indireta

Mensagempor MarceloFantini » Qua Nov 21, 2012 23:50

Fazendo a substituição x= a \tan \theta segue que

(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}} = (a^2 + a^2 \tan^2 \theta)^{\frac{3}{2}}

= a^3 (1 + \tan^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = a^3 \sec^3 \theta

e

dx = a \sec^2 \theta\, d \theta.

Voltando à integral temos

\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} = \int \frac{a \sec^2 \theta\, d \theta}{a^3 \sec^3 \theta}

= \frac{1}{a^2} \int \frac{d \theta}{\sec \theta} = \frac{1}{a^2} \int \cos \theta \, d \theta

= \frac{\sin \theta}{a^2} + C.

Como x = a \tan \theta, então x = a \frac{\sin \theta}{\cos \theta} e x^2 = a^2 \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = a^2 \frac{\sin^2 \theta}{1 - \sin^2 \theta}, logo a^2 \sin^2 \theta = (1 - \sin^2 \theta) x^2 = x^2 - x^2 \sin^2 \theta.

Isolando \sin^2 \theta segue que \sin^2 \theta (a^2 +x^2) = x^2 e \sin^2 \theta = \frac{x^2}{a^2 + x^2}. Portanto \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}.

Substituindo na resposta final,

\int \frac{dx}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{a^2 \sqrt{a^2 + x^2}} + C.

Você usou a substituição certa, só faltou prosseguir com as contas até o final. :y:
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Re: [ Integral ] Indireta

Mensagempor Paraujo » Sex Nov 23, 2012 06:50

Perfeito Marcelo!!!

Muitissimo Obrigado!

Abraços :y:
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.