[limites] dúvida na resposta

por **Fabio Wanderley** » Dom Nov 11, 2012 23:25

Olá,

Para resolver este limite:
$\lim_{x\rightarrow 0}\left(1+2x \right)^x$

Basta colocar a resposta?

$\lim_{x\rightarrow 0}\left(1+2x \right)^x=1$

Meu professor falou q tenho q justificar minha resposta... mas justificar o que? Que x tende a zero, e como o número entre parênteses é um número real, o limite é 1? É isso ou há outra justificativa :?:

ou por exemplo, se eu fosse calcular o limite abaixo:
$\lim_{x\rightarrow 2}\left(1+2x \right)^x$ = $\left(1+2\cdot 2 \right)^2$ = 25
Está certo?

Minha dúvida é pq está elevado a x, daí não sei se posso fazer isso.

por **e8group** » Ter Nov 13, 2012 19:51

Pensei em fazer assim , comente qualquer coisa .

Seja (1+2x)^x = t

como a base não é fixa , vamos estabelecer um intervalo $(-1/2 , +\infty )$ para

. Isso nos garante que t > 0

logo podemos dizer que $ln(t) = ln(t) = x \cdot ln(1+2x)$ , logo $\lim_{x\to0}ln(t) = \lim_{x\to0} (x \cdot ln(1 +2x)) = \lim_{x\to0} x \cdot ln (\lim_{x\to0} (1+2x)) \implies ln(\lim_{x\to0}t) = 0$ . Disso concluímos que , t = (1+2x)^x