Integral Tripla (trasformação trigonométrica)

por **cristian9192** » Qui Out 25, 2012 14:02

Estou refazendo um de integral tripla so que tranquei em uma reção trigonometrica que não consigo entender:
$\int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{\Pi/2}cos^3(\phi) sen^7(\phi) d\phi d\theta$
que se transforama em:
$\int_{0}^{2\Pi}\int_{0}^{\Pi/2}sen^7(\phi)cos(\phi)-sen^9(\phi)cos(\phi) d\phi d\theta$
Se algué poder me dar uma dica de como se faz essa transformação, agradeço!

por **young_jedi** » Qui Out 25, 2012 14:46

separe em duas integrais

$\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^7\phi.cos\phi.d\phi -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sen^9\phi.cos\phi.d\phi\right)d\theta$

voce usa integração por substituição

$u=sen\phi$

$du=cos\phi$

então a integral fica

$\int_{0}^{2\pi}\left(\int u^7.du -\int u^9.du\right) d\theta$

faça a integral depois volte para a variavel $\phi$ e aplique os limites , depois faça a integral para $\theta$

por **cristian9192** » Qui Out 25, 2012 14:55

Na verdade o que eu não intendo é como isso:
$cos^3(\phi) sen^7(\phi)$
Se transforma nisso:
$sen^7(\phi)cos(\phi)-sen^9(\phi)cos(\phi)$

por **e8group** » Qui Out 25, 2012 14:57

Note que , $cos^3(\phi)sin^7(\phi) = cos^2(\phi)cos(\phi)sin^7(\phi)=(1-sin^2(\phi))cos(\phi)sin^7(\phi) = sin^7(\phi)cos(\phi) -sin^9(\phi)cos(\phi) .$