Problema derivada

por **Herrero088** » Seg Jul 12, 2010 23:31

Bom estou com uma duvida enorme!! estou com uma lista e exercicio e acabei me deparando com um exercicio a meu ver complicado
vamos a ele

"Para construir uma taça em forma de cone circular reto, remove-se um setor de uma folha circular de cartolina de raio A, e unem-se as duas margens retilineas de corte. determine o volume da maior taça que pode ser construida.

Imagem

tentativa resolução:

se o raio da cartolina é A
então 2?r=A ou r=A/(2?)

bom.. agradeço desde já quem poder me ajudar!!

por **Elcioschin** » Ter Jul 13, 2010 19:10

Sejam:

x (em radianos) o ângulo do setor circular retirado
S o comprimento da parte curva da figura:
R o raio da base do cone
h a altura do cone

S = 2*pi*A - A*x ----> Este comprimento S será o perimetro da base do cone ----> S = 2*pi*R

2*pi*R = 2*pi*A - A*x ----> R = A - (A/2*pi)*x ----> R² = A² - (A²/pi)*x + (A²/4*pi²)*x²

A dimensão A será a geratriz do cone ----> h² = A² - R² ----> h = V[(A²/pi)*x - (A²/4*pi²)*x²]

V = (1/3)*pi*R²*h -----> V= (1/3)*pi*[A² - (A²/pi)*x + (A²/4*pi²)*x²]*V[(A²/pi)*x - (A²/4*pi²)*x²]

Agora é contigo: Derive, iguale a derivada a zero e calcule x.

por **Douglasm** » Ter Jul 13, 2010 19:47

Eu fiz de um modo diferente do Elcioschin, mas que acredito também ser válido. O problema envolve descobrir um ponto de máximo na função que determina o volume do cone. Para simplificar, ao invés de considerar esta, eu resolvi considerar a função que determina a área do triângulo cuja rotação dá origem ao cone. É evidente que se este triângulo tiver área máxima, o cone terá volume máximo. Eis um desenho do triângulo:

: trimatder.JPG (6.72 KiB) Exibido 2602 vezes

A área do triângulo é dada por:

$\mbox{Area} = \frac{2 r . \sqrt{A^2 - r^2}}{2} = r . \sqrt{A^2 - r^2} \;\therefore$

Agora devemos igualar a derivada a zero para encontrarmos um ponto de máximo (ou de mínimo, ou de inflexão):

$\frac{d(\mbox{Area})}{dr} = \sqrt{A^2-r^2} - \frac{r^2}{\sqrt{A^2-r^2}} = 0 \;\therefore$

Achamos então, qual deve ser o raio, caso queiramos a área máxima. Este valor também é válido para o volume máximo. Logo:

$V_{max} = \frac{\pi}{3}.\frac{A^2}{2}.\sqrt{A^2 - \frac{A^2}{2}} = \frac{\pi A^3}{6\sqrt{2}}$

É sempre bom verificar o gabarito, para garantir que não tenhamos errado nas contas. Até a próxima.

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