[Cálculo] integral dupla

por **armando** » Seg Dez 19, 2016 04:25

Olá a todos.
Alguém me pode dar uma ajuda com a seguinte integral dupla ?

$\int\limit_{0}^{4}\int\limit_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dydx$

Sei que o resultado é 128, mas não consigo chegar nele.

Antecipadamente grato
Armando

por **armando** » Qua Dez 28, 2016 03:29

Olá, sou eu novamente.
Pelo que andei pesquisando deve-se começar a resolução das integrais de dentro para fora.

$\int\limit_{0}^{4} (\int\limit_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy)dx$

Resolvendo a integral interna $\int\limit_{x}^{3x}3\sqrt{16-x^2}dy$ , numa calculadora TI-Nspire CX CAS, dá: $6x\sqrt{16-x^2}$

O WolframAlpha para a resolução da mesma começa por dizer:

Aplique o teorema fundamental de cálculo.

A antiderivada de

$=3\sqrt{16-x^2}\,\,y|_{y=x}^ {3x}$

Avaliar a antiderivada dos limites e subtrair.

Mas como não estou inscrito, não mostra mais passos para além destes.
Alguém sabe como chegar até $,\,\,\,6x\sqrt{16-x^2}$ . É que a integral desta expressão, com limites de [0,4]

em relação a

eu sei como resolver de modo a chegar no valor 128.

Grato pela atenção
Amadeu

por **adauto martins** » Qui Dez 29, 2016 13:10

$I=\int_{0}^{4}(\int_{x}^{3x}3.\sqrt[]{(16-{x}^{2})}dy)dx=\int_{0}^{4}3.\sqrt[]{(16-{x}^{2})}(\int_{x}^{3x}dy)dx=$ $3.\int_{0}^{4}\sqrt[]{(16-{x}^{2})}(3x-x)dx=3.\int_{0}^{4}2x.\sqrt[]{(16-{x}^{2})}dx...$ ,faz-se $u=16-2x...du=-2xdx\Rightarrow I=-3.\int_{0}^{4}u.\sqrt[]{u}du=3.\int_{4}^{0}u.\sqrt[]{u}du...$ ,agora é usar a integraçao por partes,pois chegou-se a uma integral do produto de duas funçoes $u.\sqrt[]{u}$ ,cuja formula é dado por:
$\int_{a}^{b}f.(g' )dx=f.g-\int_{a}^{b}g.(f')dx...$ ,termine-o...
sugestao: $u.\sqrt[]{u}={u}^{2}/\sqrt[]{u}...$

por **pedro22132938** » Sex Dez 30, 2016 01:43

Como voce está integrando em y e sua função só depende de x, ela sai da integral como um constante

por **adauto martins** » Sex Dez 30, 2016 15:44

é isso colega,vc integra mesmo q. y=f(x),x=f(y)...

como em derivadas parciais tbem...
uma peq. correçao na integral q. fiz e faremos o restante do exercicio:
na soluçao anterior chegamos em:
$I=3.\int_{0}^{4}2x.\sqrt[]{(16-{x}^{2})}dx$ ,fizemos
$u=16-{x}^{2}\Rightarrow du=-2xdx...I=-3.(\int_{0}^{4}\sqrt[]{(16-{x}^{2})}(-2xdx)=-3.\int_{0}^{4}\sqrt[]{u}du=-2.{u}^{3/2}[0,4]=$ $-2.(\sqrt[]{(16-{x}^{2})}[0,4]=-2.(-64)=128...$

por **armando** » Ter Jan 03, 2017 01:06

Boa noite a todos.
A minha dificuldade era nesta 1ª etapa, até chagar a: $6x\sqrt{16-x^2}$

$\int\limit_{x}^{3x}(3\sqrt{16-x^2}) = (3\sqrt{16-x^2})y]^{3x}_{x} = 3x(3\sqrt{16-x^2}) - x(3\sqrt{16-x^2}) =\\ = (3x-x)\sqrt{16-x^2} = 2x(3\sqrt{16-x^2}) = 6x\sqrt{16-x^2}$

Com a solução desta primeira etapa, avancei para a segunda do seguinte modo :
Uma vez obtida a integral: $\int\limit_{0}^{\limit{4}}6x\sqrt{16-x^2}\,dx$

Fazendo $u=16-x^2\;\;$
$\frac{du}{dx}=-2x$
du=-2xdx

$xdx=\frac{du}{-2}$

Passando o inteiro $\,6\,$ para fora da integral, e a variável

que estava multiplicando por ele para junto de

, vamos ter:

$6\int\limit_{0}^{\limit{4}}\sqrt{16-x^2}\,xdx$

e deste modo podemos enunciar:

$6\int\limit_{0}^{\limit{4}}\sqrt{u}(-\frac{du}{2})\;\,=\;\,6\int\limit_{0}^{\limit{4}}{u}^{\frac{1}{2}}(-\frac{du}{2})\;\,=\;\,-\frac{6}{2}\int\limit_{0}^{\limit{4}}u^{\frac{1}{2}}du\;\,=\;\,-3\cdot\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\,\,=\\ =\,\,\,-3\cdot\frac{2}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}\;\,=\;\,-\frac{6}{3}\cdot u^{\frac{3}{2}}=\,-2\cdot u^{\frac{3}{2}}\,=-2(16-x^2)^{\frac{3}{2}}=\,-2\sqrt{(16-x^2)^3}[{_{_0}^{^4}}=\\ =\,\,\,[-2\sqrt{(16-4^2)^3}]\,-\,[-2\sqrt{(16-0^2)^3}]\;\;=\;\,(0)\,\,-\,\,(-128)\;=\;\box{128}$

Creio não ter cometido nenhum erro. Se por acaso o fiz, por favor, me corrijam.

Compreendi o vosso método.
Obrigado pela ajuda.