Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

por **Reh** » Qua Jul 20, 2016 18:52

Problema: Determine o coeficiente angular da curva $f(x)=\sqrt{x}$ no ponto (4; 2) e a equação
da reta tangente à curva nesse ponto.

Estou com dificuldade em relação a fórmula para calcular, pois quando faço o gráfico e uso dois pontos, por exemplo, p1(4,2) e p2(9,3), para calcular o coeficiente angular $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ encontro algo que não é o coeficiente angular e da mesma forma para outros pontos do gráfico. Existe uma fórmula para o cálculo?

Desde já, grato pela contribuição. :-O

por **Daniel Bosi** » Qua Jul 20, 2016 21:34

Olá Reh.

Você já aprendeu derivada? A forma de encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao ponto da função é fazendo a derivada da função e substituindo o x do ponto (4,2) nessa derivada:

$f(x) = \sqrt[]{x}$

Derivada:

$f'(x) = \frac{1}{2\times\sqrt[]{x}}$

Substituindo a coordenada x do ponto (4,2) significa substituir o número 4 nessa derivada, encontrando o coeficiente angular da reta tangente $\frac{1}{4}$ .

Portanto, a equação da reta tangente ao ponto (4,2) da função supracitada deve ser da forma $g(x) = \frac{1}{4}x + c$ .

Ainda não conhecemos essa constante c, mas sabemos que a reta passa pelo ponto (4,2). Portanto, para o valor de x igual a 4, o y deve ser 2, assim:

$\frac{1}{4}\times4 + c = 2$

Isso significa que:

1 + c = 2

Portanto a equação da reta tangente à função $f(x) = \sqrt[]{x}$ no ponto (4,2) é $g(x) = \frac{1}{4}x + 1$

por **Reh** » Qua Jul 20, 2016 23:58

Resolução perfeita, porém ainda não aprendi derivada. O meu professor disponibilizou essa resolução, sem a aplicação de derivadas, pois a questão é referente a prova de Limites. Detalhe, ele usa uma "fórmula" para encontrar o coeficiente angular.
$m = \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{4 + h} - \sqrt[]{4}}{h} = \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{4 + h} - \sqrt[]{4}}{h} * {} \frac{\sqrt[]{4 + h} + \sqrt[]{4}}{{\sqrt[]{4+h} + \sqrt[]{4}}{h}} = \lim_{h\rightarrow0} \frac{{4 + h} - {4}}{h\left(\sqrt[]{4+h}+2 \right)}$ $= \frac{h}{h\left( \sqrt[]{4+h}+2\right)} = \lim_{h\rightarrow0} \frac{1}{\sqrt[]{4+h}+2} \Rightarrow m = \frac{1}{4}$

Acredito que a fórmula seja essa $\lim_{h\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{Xo+h}-\sqrt[]{Xo}}{h}$ aplicado ao ponto (4,2) onde Xo seria o 4, assim sendo substituído na fórmula para calcular o coeficiente angular. Faz sentido? :-D

Excelente dica, obrigado.

por **Daniel Bosi** » Qui Jul 21, 2016 09:23

Bom dia, Reh.

Parece que o seu professor está trabalhando com a Derivada por Limite. Dê uma olhada no link abaixo onde é mostrada a fórmula da Derivada por Limite com exercícios resolvidos:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculo ... efDer.html