Duvida Integral Definida

por **douglasnickson** » Dom Jul 03, 2016 01:39

Olá pessoal, estou com uma lista de exercicio da disciplina sinais e sistemas e me deparei com a seguinte questão:

se f é uma função par e contínua no intervalo [-a,a] então:

Imagem

Gostaria de saber como eu faço pra chegar no resultado, se possível digam o passo a passo e quais regras eu devo usar, e fundamental saber isso na disciplina.

por **e8group** » Dom Jul 03, 2016 20:52

Lembre que uma função f (definida num dominio simetrico ) é dita ser par se f(x) = f(-x)

para todo x . Faça o esboço do gráfico de alguns exemplos f(x) = x^2 ; a = 2

, $f(x) = cos(x) ; a = \pi/2$ para fixar ideias ..Qual o comportamento de função continua par genérica num compacto simétrico [-2,2] , [-5,5], -[20,20] ou [-a,a]

...O que significa $\int_{-a}^{a} f(x) dx$ geometricamnete??? Corresponde a area com sinal da area delimitada pela gráfico da função , eixo x , e as retas verticais x = -a e x = a ... So para fixar ideias supor $f(x) \geq 0$ .. Chame a região de R .. Assim , $Area(R) \equiv \int_{-a}^{a} f(x) dx$ ..Esta região se decompõe como união de duas regiões R_1 , R_2

cuja interseção é uma região tem medida (area) nula .. Quem são elas ??
Logo pela atividade da integral Area(R) = Area(R_1) + Area(R_2)

.. Observe que R_1

pode ser obtida reflexão como reflexão de R_2

sobre o eixo y $R_1 \ni (x,y) \mapsto (-x,y) \in R_2$ ... Intuitivamente , Area(R_1) = Area(R_2)

.. Logo $Area(R) = 2 Area(R_1) = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ .. Isto é intuitivo e nos leva a conjeturar oq vc postou .. A prova por sua vez é bem simples .. Basta verificar que

$\int_{-a}^0 f(x)dx = \int_{0}^{x} f(x) dx$ . Dica use o fato que f é par + faça uma subsituição u = -2x

...

por **douglasnickson** » Dom Jul 03, 2016 22:37

Primeiramente valeu pelas dicas santhiago, então, a teoria eu atendi, mas não to conseguindo efetuar o passo a passo dos cálculos até chegar no resultado final, parte e separar a integral em dois intervalos ok, mas e depois o que eu devo fazer? tem alguma forma pra mim utilizar?

por **e8group** » Dom Jul 03, 2016 22:53

Chame de $L:=\int_{0}^{a} f(x) dx$ (Atenção a variável x é muda , de modo que $L= \int_{0}^{a} f(u) du = \int_{0}^{a} f(z) dz$ etc )
Vamos mostrar que $\int_{-a}^{0} f(x) dx = L$ . Daí o resultado segue já que a integral de f sobre [-a,a] é a soma destas integrais .

Ora, se f é par , então f(x) = f(-x) para todo x , logo $\int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(-x) dx$ .
Agora faça uma substituição u = -x

.Feito isto , verifique que (após trocar dx por -du e atualizar os limites de integração )
$\int_{-a}^0 f(-x) dx = - \int_{a}^{0} f(u) du = \int_{0}^{a} f(u) du = L$ .

Obs.: Vale um resultado análogo para ímpar no lugar de par , mas o valor da integral será zero .

por **douglasnickson** » Dom Jul 03, 2016 23:53

Agora acho que entendi, ai no caso no final qnd trocar o U pelo -x por ser par eu posso fazer o processo inverso e voltar o x e o -du qnd eu trocar os limites cancela o menos não eh isso?
ai voltando pra x eu somo com a outra integral e da o resultado da questão correto?

Agora vou fazer pra parte impar que também pede, o processo e o mesmo neh?

por **adauto martins** » Ter Jul 05, 2016 15:25

primeiramente mostrarei q. sendo f(x) uma funçao par,teremos:
a)
$\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$ ...de fato,pois
$\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{-(-a)}^{0}f(-x)dx=-\int_{a}^{0}f(-x)dx=\int_{0}^{a}f(-x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx$ ...
entao...
$I=\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx$ ,por a)teremos entao:
$I=\int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=2.\int_{0}^{a}f(x)dx$ ...