[Limites] Limite com raizes

por **Huovi** » Sáb Abr 09, 2016 00:15

Como eu resolvo o lim x->1 (?x - 1)/(1 - x^1/3) ? Simplesmente não consigo fazer. O step by step do wolfram também não me ajudou em nada. Help pliz D:

por **DanielFerreira** » Dom Abr 10, 2016 10:35

Huovi escreveu:Como eu resolvo o $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{1 - \sqrt[3]{x}}$ ? Simplesmente não consigo fazer. O step by step do wolfram também não me ajudou em nada. Help pliz D:

Olá Huovi, seja bem-vindo(a)!

Nesses limites devemos encontrar uma maneira de cancelar o fator que anula o denominador. Fazemos isso multiplicando-o pelo seu "conjugado".

Outro ponto a destacar é a fatoração. Note que a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

, por conseguinte $(1 - x) = (1 - \sqrt[3]{x})(1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})$ .

Daí,

$\\ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{1 - \sqrt[3]{x}} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{1 - \sqrt[3]{x}} \times \frac{(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} \times \frac{(1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{(1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{(1 - x)(\sqrt{x} + 1)} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x - 1)}(1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{- \cancel{(x - 1)}(\sqrt{x} + 1)} = \\\\\\ \lim_{x \to 1} \frac{(1 + \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}{- (\sqrt{x} + 1)} = \\\\\\ \frac{1 + 1 + 1}{- (1 + 1)} = \\\\\\ \boxed{- \frac{3}{2}}$

Espero ter ajudado!