[Integral trigonométrica]

por **vitor_jo** » Ter Fev 10, 2015 02:09

Senhores, uma questão do Guidorizzi,
$\int_{0;\pi/3 }^{}{}sexcos²x dx$ [definida de 0 a pi/3]

Eu cheguei até -cos³x/3| de 1/2 a 1, mas não sei como proceder para o resultado (R.:7/24)

Também findei em uma outra, com sen^(6)x/6 | de 0 a 1/2 e não sei como seguir...

Obrigado desde já.

por **vitor_jo** » Ter Fev 10, 2015 02:09

[é senxcos²x]

por **Russman** » Ter Fev 10, 2015 04:00

A integral é

$I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin(x) \cos^2(x)dx$

[I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin(x) \cos^2(x)dx ]

Se sim, faça a substituição $u(x) = \cos(x)$ . Daí, $du = - \sin(x) dx$ e

$I =\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin(x) \cos^2(x)dx = -\int_{u(0)}^{u\left ( \frac{\pi}{3} \right )}u^2 du$

cuja forma final é facilmente calculável.

por **vitor_jo** » Ter Fev 10, 2015 14:19

Quando você realiza essa substituição, tem de se mudar o intervalo, não?
De modo que cos(x)=u
cos0=1=u
cos(pi/3)=cos(60)=1/2=u
Ou seja, passo para a definida de 1/2 a 1.
A resposta não bate.

por **Russman** » Ter Fev 17, 2015 18:15

Isto. Eu mudei o intervalo de integração como você disse, só deixei para você calcular.

A integral de x^2 é (1/3)x^3. De 1/2 até 1 será

(1/3)((1/8) - 1) = (1/3)(-7/8) = -7/24

O sinal negativo some com o negativo da mudança de variável.