[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

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[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

Mensagempor Pessoa Estranha » Dom Nov 16, 2014 16:53

Olá, pessoal! Boa Tarde!

Preciso de ajuda para resolver o seguinte exercício: "Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, um dos quais formará um círculo e o outro, um quadrado. Como deve ser cortado o fio para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja máxima?"

Minha resolução:

Seja x o pedaço de L destinado ao círculo. Seja y, o do quadrado. Temos x + y = L. Sabemos que a área de um círculo é dada por: \pi {r}^{2}, onde r é o raio. Como temos o comprimento x, vem que 2 \pi r = x \rightarrow r = \frac{x}{2 \pi}. Logo, {A}_{c} = \frac{{x}^{2}}{4 \pi} é a área do círculo. Da mesma forma, temos que a área do quadrado é dada por: {A}_{q} = {a}^{2}, onde a é a medida do lado do quadrado. Mas, sabemos que 4a = y \rightarrow a = \frac{y}{4}. Logo, {A}_{q} = \frac{{y}^{2}}{16}. Para trabalharmos com uma variável, segue: x + y = L \rightarrow x = L - y \rightarrow {x}^{2} = {L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}. Substituindo, vem que: {A}_{c} = \frac{{L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}}{4 \pi}. Somando as duas áreas, temos: {A}_{c} + {A}_{q} = \frac{{L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}}{4 \pi} + \frac{{y}^{2}}{16} \rightarrow {A}_{c} + {A}_{q} = \frac{{y}^{2}(4+ \pi) - 8Ly + 4{L}^{2}}{16 \pi}. Derivando, temos: \frac{(4+ \pi)y - 4L}{3 \pi}. Daí, fazendo um estudo do sinal, não encontrei ponto de máximo, e, sim, de mínimo.

Por favor, preciso de ajuda! Muito Obrigada!
Pessoa Estranha
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y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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