Limite

por **Carolminera** » Seg Jul 21, 2014 18:13

Seja f: R -> R uma função diferenciável em um ponto a E R(reais). Calcule, em termos de f ' (a), o limite:

$\lim_{x -> 0} \frac{f(x)- f(a)}{\sqrt[]{x} - \sqrt[]{a}}$

Alguém pode me ajudar?
Obrigada desde já!

por **e8group** » Ter Jul 22, 2014 01:48

Dica :

Multiplique em cima e em baixo por $\sqrt{x} - \sqrt{a}$ e dps utilize regra operatória limites .

por **Carolminera** » Ter Jul 22, 2014 10:41

Poderia demonstrar como fica? É que eu realmente não estou entendendo como fazer a operação, o exercício para mim está meio confuso.

por **e8group** » Ter Jul 22, 2014 11:23

Primeiro traduzimos a hipótese na linguagem dos limites ...

Dizer que f é diferenciável em um ponto

implica em dizer que o limite $\lim_{x\to a } \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a) }{h} \in \mathbb{R}$ existe e uma notação para designar esta afirmação é f'(a)

.

Agora note que desejamos computar o limite $\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{ \sqrt{x} - \sqrt{a} }$ . Nosso objetivo é escrever $\frac{f(x)- f(a)}{ \sqrt{x} - \sqrt{a} }$ como $\frac{f(x) - f(a)}{x-a} g(x)$ (tal que $\lim_{x\to a} g(x)$ existe ) para que possamos aplicar a regra operatória do produto (vide livros de cálculo 1) .

Utilizando que (w+p)(w-p) = w^2 - p^2

, nós temos que $(\sqrt{x} - \sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a}) = (|x| - |a|) = x-a$ (estar implícito a positividade de

) (*) .

Como sugerir ... ( no primeiro membro estamos multiplicando por uma quantidade não nula e dividindo pela mesma quantidade , estamos trabalhando com x mt próximo de a , mas differente de a ; no segundo membro usamos o resultado marcado por (*) ) o limite desejado equivale a calcular o seguinte limite

$\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{ \sqrt{x} - \sqrt{a} } \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a}}{\sqrt{x} + \sqrt{a}} = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{a})$ .

Tendo em conta que ambos limites abaixo existem ,

$\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = f'(a)$ (hipótese )

$\lim_{x\to a} \sqrt{x} + \sqrt{a} = \sqrt{a} + \sqrt{a} = 2 \sqrt{a}$ , então podemos aplicar a regra operatória do produto para obter $\lim_{x\to a} \frac{f(x)- f(a)}{ \sqrt{x} - \sqrt{a} } = 2 f'(a) \sqrt{a}$ .

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