Duvida em série de Fourier

por **luisbaixo** » Sex Mai 09, 2014 01:22

Boa noite pessoal , sou novo aqui e preciso muito da ajuda de vocês

Tenho o exato problema:
Determine a série de fourier da função periódica

f(x) = -x se -3<x<0
x se 0<x<3
p = 2l -> p = 6 , l = 3 certo?
Como se trata de uma função par , ja fiz bn = 0. Meu A0 = 3 , meu An = 12/N*pi *( sen(n*pi) + cos(n*pi) -1)

logo a série montada = 3 + E (12/N*pi*(sen(n*pi) + cos(n*pi)-1) * cos(n*pi*x/3)

minha duvida é ,esta certo minha resolucao? Obrigado!

por **Russman** » Sex Mai 09, 2014 02:08

Você pode simplificar $\sin(n\pi) = 0 \ \forall \ n \in \mathbb{Z}$ .

Eu acho que você se enganou no coeficiente da série.

$A_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos(\frac{n \pi x}{L})dx = \frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\cos(\frac{n \pi x}{3})dx=$
$=\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\cos(\frac{n \pi x}{3})dx = \frac{1}{3}\left [ \int_{-3}^{0}-x\cos(\frac{n \pi x}{3})dx + \int_{0}^{3}x\cos(\frac{n \pi x}{3})dx\right ]=$
$=\frac{1}{3}\left [ \frac{18}{\pi^2n^2} (\pi n \sin(\pi n)+\cos(\pi n)-1) \right ]$

Agora, lembrando que das propriedades de seno e cossenos de múltiplos inteiros de $\pi$ , temos

$A_n = \frac{6}{\pi^2n^2}\left ( (-1)^n -1 \right )$

Aqui eu usei que $\cos(n\pi) = (-1)^n \ \forall \ n \in \mathbb{Z}$ . Verifique q é verdade!!

O A_0

eu concordo com você. Daí, a série vai ser

$f(x) = \frac{3}{2} + \frac{6}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left ( (-1)^n -1 \right )\cos(\frac{n \pi x}{3})$

Na sua resolução, você só esqueceu de dividir o A_0

por

, um $\pi^2 n^2$ e o

era

.Detalhes. A parte grossa(definir limites de integração, particionar o intervalo, efetuar as integrações) eu acredito que você tenha feito certo!

por **luisbaixo** » Sex Mai 09, 2014 03:06

Opa , refazendo aqui deu certo!

Antes eu tinha feito o seguinte : $f(x)=\int_{-3}^0 -x*cos(n*pi*x/3)dx + \int_{0}^3 x*cos(n*pi*x/3)dx$

dai eu fiz o esquema , ao inverter o intervalo de integração 1 o sinal troca dai ficaria : $f(x)=\int_{0}^3 2*x*cos(n*pi*x/3)dx$ , dai eu acho que devo ter feito algo errado por isso que acho que ficou 12 ao invés de 6 hehe , talvez tenha errado na integração por partes também pra faltar o n²pi² , mas na prova resolverei com mais calma haha
EDITANDO

Fiquei com uma dúvida em expansão de meia escala em senos e cossenos . é só eu pegar a função , os intervalos e depois tirar A0 An e Bn? só isso?Do que difere pra funções pares ou impares propriamente ditas?
Valeu!

por **Russman** » Sex Mai 09, 2014 15:32

A consideração da paridade da função é apenas para efeitos de minimização de cálculos. Uns zeros que podem ser desconsiderados na conta facilitam. Se você sabe que a função f(x)

é uma função par contínua em [-a,a]

, então

$\int_{-a}^{a}f(x) \ dx=2\int_{0}^{a}f(x)\ dx$ .

Agora, o interessante vem com o fato de f(x)

ser uma função ímpar contínua em [-a,a]

. Se sim, então

$\int_{-a}^{a}f(x) \ dx=0$

e isso evita ter de efetuar a integração e descobrir este resultado que podia ser previsto anteriormente.

Como os Coeficientes de Fourier são integrais simétricas de $f(x)\cos(kx)$ e $f(x) \sin(kx)$ você pode estudar a paridade desse produto de funções e aplicar diretamente na integral. Uma função par multiplicada por uma outra função par, é par. E uma função par multiplicada por uma função ímpar, é ímpar. Assim, o coeficiente que envolve seno e uma função ímpar será sempre nulo. Como é o caso da sua função: B_n = 0

.

Certamente para calcular o A_n

você pode tomar, já que f(x)

é par,

$A_n = \frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\cos\left ( \frac{n \pi x}{3} \right ) \ dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}f(x)\cos\left ( \frac{n \pi x}{3} \right ) \ dx$

e como no intervalo [0,3]

temos

, então

$A_n = \frac{2}{3}\int_{0}^{3}x\cos\left ( \frac{n \pi x}{3} \right ) \ dx$

que calculará o mesmo resultado que

$A_n = \frac{1}{3}\int_{-3}^{0}-x\cos\left ( \frac{n \pi x}{3} \right ) \ dx + \frac{1}{3}\int_{0}^{3}x\cos\left ( \frac{n \pi x}{3} \right ) \ dx$

por **luisbaixo** » Sex Mai 09, 2014 17:59

Fiquei com outra dúvida , um exercicio:

Faça a expansão da função f(x) = x , 0<x<2 em uma série de fourier e senos e outra de cossenos.

É só eu achar A0 , An e colocar na série e depois Bn e colocar em outra série? por exemplo

Expansão seno : E ( Bn*sen(n*pi*x/L))

Expansão cosseno : A0 + E(An*cos(n*pi*x/L)

?? Valeu!!

por **Russman** » Sáb Mai 10, 2014 14:57

luisbaixo escreveu:Faça a expansão da função f(x) = x , 0<x<2 em uma série de fourier e senos e outra de cossenos.

Como você deve entender, se f(x)

é uma função par contínua no intervalo [-a,a]

então o respectivo Coeficiente de Fourier associado a senos dessa função é nulo: B_n=0

. Mas, se

é uma função ímpar contínua no intervalo [-a,a]

então o respectivo Coeficiente de Fourier associado a cossenos dessa função é nulo: A_n=0

.

Já que a função f(x)

está definida somente para o intervalo (0,2)

, isto é, não há nenhuma informação ou indício de que a mesma é periódica, nós podemos tomar uma extensão periódica desta função que, em geral, chama-se prolongamento par ou prolongamento ímpar para que seja possível a expansão da mesma em Série de Fourier. Lembre-se que esta expansão somente é válida para funções periódicas!!

Portanto, faça f(x) = x

ser ímpar, periódica no intervalo (-2,2)

e expanda em Série de Fourier. A Série terá somente termos em senos e, então, podemos chama-la de Série de Fourier de Senos. Agora repita o mesmo procedimento , porém com a função sendo par! A Série terá somente termos em cossenos e, então, podemos chama-la de Série de Fourier de Cossenos.

Sim, a mesma função definida para o intervalo (0,2)

terá duas formas diferentes de representação. Fantástico, não?

(:

por **luisbaixo** » Sáb Mai 10, 2014 19:52

Fantástico mesmo , faço mecatrônica e essa matéria é mt importante(EDB) tenho que aprender direito
caiu uma questão assim na prova , n sei se fiz certo.

Defina a série cosseno de fourier sabendo que f(x) = -x de -2 à 0.

Eu nao sei se fiz certo , achei A0 = 1 , meu An deu 0 para todo N , meu Bn deu ~= 0 para todo N. dai acho que errei o fazer 1+ E Bn*sen(n*pi*X) , mas expliquei pro professor , afinal de contas nao tinha entendido muito bem hehehe , pq ele praticamente deu melancia e pediu laranjas... huaaehu

por **Russman** » Sáb Mai 10, 2014 22:00

É. A Análise de Fourier é o "arroz-e-feijão" do processamentos de sinais e tem inúmeras aplicações em engenharia. É bom dominar o assunto. Além do que, é uma teoria fascinante muito rica desde a base fundamental sobre o comportamento de funções ao poder de solução de problemas.

Pois é. Nesse problema que você falou, já que a série devia ser de cossenos, devia ser tomado o prolongamento par da função. O B_n