para determinar 
de modo que o erro da aproximação de 
por 
seja menor que 
.Alguém tem alguma ideia ? Como obter uma expressão para
? Até agora só consegui isto abaixo ...
i) Primeiro vamos garantir que
é limitada em 
.Derivando
n-vezes , vamos obter uma expressão da forma 
,onde 
é um polinômio 
e portanto 
é uma função racional e 
.Sendo assim garantimos que 
é contínua .Em particular , ela é contínua em qualquer intervalo fechado não degenerado contendo a vizinhança de 
.Logo pelo Teorema de Weierstrass , é limitada neste intervalo . Assim ,
ii) Segunda parte trabalhosa, determinar
e encontrar uma cota . Pensei assim :
Seja
![I_n (t) = D^n(arctan(t)) = D^n \left(\int_0^t \frac{d\zeta }{1+ \zeta^2}\right) = \frac{1}{2i}D^n \left(\int_0^t \left[ \frac{1 }{t -i} - \frac{1 }{t +i} \right ]d \zeta \right)](/latexrender/pictures/d7c19ec5b41f47b62c610c156d7f5e04.png "I_n (t) = D^n(arctan(t)) = D^n \left(\int_0^t \frac{d\zeta }{1+ \zeta^2}\right) = \frac{1}{2i}D^n \left(\int_0^t \left[ \frac{1 }{t -i} - \frac{1 }{t +i} \right ]d \zeta \right)")
Daí , temos
![I_n(t) = \frac{1}{2i}(-1)^n n! \left[ \frac{1}{(t-i)^{n+1}} - \frac{1}{(t+i)^{n+1}}\right ] = \frac{i}{2}(-1)^{n+1} \frac{n!}{(t+1)^{n+1}}\left[ (t+i)^{n+1}- (t-i)^{n+1}\right]](/latexrender/pictures/6b7f2ca704f1991f83afbb2817ea8384.png "I_n(t) = \frac{1}{2i}(-1)^n n! \left[ \frac{1}{(t-i)^{n+1}} - \frac{1}{(t+i)^{n+1}}\right ] = \frac{i}{2}(-1)^{n+1} \frac{n!}{(t+1)^{n+1}}\left[ (t+i)^{n+1}- (t-i)^{n+1}\right]")
e finalmente obtemos ![I_n(t) = \frac{(-1)^{n+1}n!}{2(1+t)^{n+1}} \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}[1-(-1)^{m+1}]i^{k+1} \cdot t^{n+1 -k}](/latexrender/pictures/45dcf87ee4c76edf4cbac4078fde283f.png "I_n(t) = \frac{(-1)^{n+1}n!}{2(1+t)^{n+1}} \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}[1-(-1)^{m+1}]i^{k+1} \cdot t^{n+1 -k}")
. Logo ,
![|I_n(t)| = \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} | \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}[1+(-1)^{m+1}]i^{k+1} \cdot t^{n+1 -k}| \leq \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}|(1-(-1)^{m+1})i^{k+1}|t^{n+1-k} \leq \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m} t^{n+1-k} = \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot (1+t)^{n+1} = \frac{n!}{2}](/latexrender/pictures/0726c60a3f905901b0974c49e518fa79.png "|I_n(t)| = \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} | \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}[1+(-1)^{m+1}]i^{k+1} \cdot t^{n+1 -k}| \leq \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m}|(1-(-1)^{m+1})i^{k+1}|t^{n+1-k} \leq \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot \sum_{m=0}^{n+1} \binom{n+1}{m} t^{n+1-k} = \frac{n!}{2(1+t)^{n+1}} \cdot (1+t)^{n+1} = \frac{n!}{2}")
. Portanto
é limitada por 
. Mas esta cota não ajuda , meu objetivo era obter
. iii) Encontrar
. Sabemos que
(Forma Lagrange). , então 
, .Se tivéssemos demostrado que
.
e com isso 
sempre que 
que é a resposta do gabarito .Qualquer ajuda é bem vinda .
por 
.
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