[limites]Calcular limite

por **fff** » Qua Abr 09, 2014 12:29

$\lim_{+\propto}\frac{{e}^{2x}-{e}^{x}}{ln(x+1)}$
R: $+\propto$ (só posso utilizar limites notáveis)

por **e8group** » Sex Abr 11, 2014 01:14

O limite é + infty .

Pq ?

Uma alternativa ...

Proposição :

Se $f(x) \geq g(x)$ para todo $a < x < +\infty$ e $lim(g(x)) = +\infty$ então $lim(f(x)) = +\infty$ .(a podendo ser número real ou - \infty )

Agora note que

e^x -1 > x

para todo x > 0 . Então

$e^{x} (e^{x} -1) = e^{2x} -e^{x} > e^{x} x \implies \frac{e^{2x} -e^{x} }{ln(x+1)} > \frac{e^{x} x }{ln(x+1)} > \frac{(x+1) x}{ln(x+1) } = x \cdot \frac{x+1}{ln(x+1) } > x , x > 0$ .

Ou seja , $\frac{e^{2x} -e^{x} }{ln(x+1)} > x$ para todo $+\infty > x > 0$ .

Daí quando passamos ao limite com $x \to +\infty$ , obteremos o resultado .

P.S.: Plote os gráficos para x > 0 e faça uma comparação .

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