Integral de substituições trigonométricas

por **Jhenrique** » Ter Abr 01, 2014 00:31

Compondo funções trigonométricas, você perceberá que as principais substituições se relacionam com a tabela abaixo:

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Então comecei a integrar cada uma das expressões acima e criei uma nova tabela:
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No entanto, eu desgostei do resultado da integral circulada em vermelho, porque, na verdade, eu não sei transformar a função arctan(...) numa expressão similar às expressões das duas integrais (de cima e de baixo) adjacentes. Eu tentei alguma coisa, vejam:

$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}dx = \sqrt{x^2-1} + \frac{i}{2} \log(x^2 - 2i \sqrt{1-x^2}-2) -i \log(x)$

Mas este resultado não é suficientemente parecido com a integrais de $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ e $\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$ .

Você tem ideia de como fazer tal integral ser parecida com as demais?