LIMITE

por **Ana Maria da Silva** » Qua Fev 26, 2014 20:22

PODERIA ME AJUDAREM COM A SOLUÇÃO DESTES 2 LIMITES?

Calcule os limites: $\lim_{(X,Y)\rightarrow(0,0)}\frac{XY}{\sqrt{{X}^{2}+{Y}^{2}}}$ E $\lim_{(X,Y)\rightarrow(0,0)}\frac{1-COS\sqrt{XY}}{X}}$

por **young_jedi** » Sex Fev 28, 2014 23:55

a primeira por uma mudança de variaveis

$x=rsen(\theta)$

$y=r.cos(\theta)$

$\lim_{r\to0}\frac{r.sen(\theta)r.cos(\theta)}{\sqrt{r^2.sen^2(\theta)+r^2.cos^2(\theta)}}$

$\lim_{r\to0}r.sen(\theta)cos(\theta)$

como $-1<sen(\theta).cos(\theta)<1$ para qualquer angulo

então

$\lim_{r\to0}r.sen(\theta)cos(\theta)=0$

para a segunda

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-cos\sqrt{xy}}{x}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-cos\sqrt{xy}}{x}.\frac{1+cos\sqrt{xy}}{1+cos\sqrt{xy}}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-cos^2\sqrt{xy}}{x.(1+cos\sqrt{xy})}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{sen^2\sqrt{xy}}{x.(1+cos\sqrt{xy})}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{sen^2\sqrt{xy}}{xy}\frac{y}{1+cos\sqrt{xy}}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{sen^2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}^2}\frac{y}{1+cos\sqrt{xy}}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{sen\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}.\frac{sen\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}\frac{y}{1+cos\sqrt{xy}}=1.1.\frac{0}{1+1}=0$

LIMITE

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