[Continuidade, Derivada Parcial e Função Diferenciável]

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[Continuidade, Derivada Parcial e Função Diferenciável]

Mensagempor raimundoocjr » Qui Out 24, 2013 17:28

Considere a função
f(x, y)=\left\{\begin{matrix} \frac{xy^2}{x^2+y^2} \ se \ (x, y)\neq (0, 0)& & \\ 0 \ se \ (x, y)=(0, 0) & & \end{matrix}\right.
(a) f(x, y) é contínua em (0, 0)?
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {xy^2}{x^2+y^2}=(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x vai a zero.
\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2}: é limitada.
Então,
(\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} x)\cdot (\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)} \frac {y^2}{x^2+y^2})=0=f(0, 0)
É contínua.
(b) f(x, y) tem derivadas parciais em (0, 0)?
Sim,
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0, 0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{0}{x}=0
\lim_{y\rightarrow 0} \frac{f(y, 0)-f(0, 0)}{y-0}=\lim_{y\rightarrow 0} \frac{0}{y}=0
(c) f(x, y) é diferenciável em (0, 0)?
Justifique suas respostas.

Como faço o item c?
raimundoocjr
 
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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