[Limite - Seno - Função Duas Variáveis]

por **raimundoocjr** » Seg Out 14, 2013 20:14

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 16 - Pág.: 810)
Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
$\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)}\frac{x^2sen^2y}{x^2+2y^2}$

Resposta para o cálculo do limite: O limite não existe.

Definição de Limite de uma Função de Duas Variáveis (pelo menos):
Imagem

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Pág.: 804)

Como faço para provar esse limite?

por **young_jedi** » Seg Out 14, 2013 23:22

se fizermos o limite por dois caminhos diferentes e os resultados forem diferentes então o limite não existe
tomando o caminho x=y

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin^2y}{x^2+2y^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2\sin^2x}{x^2+2x^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin^2x}{3}=0$

agora pelo caminho $x=\sqrt{y^4-2y^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sqrt{y^4-2y^2}^2\sin^2y}{\sqrt{y^4-2y^2}^2+2y^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(y^4-2y^2)\sin^2y}{y^4}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(y^2-2)\sin^2y}{y^2}$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}(y^2-2).\frac{\sin y}{y}.\frac{\sin y}{y}=-2.1.1=-2$

portanto o limite não existe

por **raimundoocjr** » Ter Out 15, 2013 09:49

O fato de ter escolhido $x=\sqrt{y^4-2y^2}$ foi por "Tentativa e Erro, Tentativa e Acerto"? Ou você pode me dar alguma dica quando forem limites assim, em termos de qual curva "aproximar" ou "substituição realizar"?

por **young_jedi** » Ter Out 15, 2013 19:10

Então, foi por tentativa e erro mesmo, infelizmente não existe uma regra geral para encontrar dois caminhos para escolher
neste caso por exemplo, encontrar um caminho que desse limite igual a 0 foi simples, então a dificuldade foi encontrar um caminho para que o limite fosse diferente de zero, oque eu pensei neste caso foi utilizar o limite fundamental de $\frac{\sin x}{x}$ para conseguir isto.