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[Limites]

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Mensagempor Pessoa Estranha » Qui Ago 22, 2013 17:18

Olá pessoal, gostaria de ajuda para calcular o seguinte limite.
É um exercício que pede para usar a regra de L´Hospital.

Pensei que pudesse ser um caso de função limitada e então, o resultado seria o limite do sen(x), mas fiquei insegura com relação a isto. Contudo, ao tentar usar a regra de L´Hospital, tentei transformar a "expressão" num quociente e então, aplicar a regra; mas não ajudou em nada.

\lim_{x\rightarrow0}{sen(x).ln(x)}

(x tende a zero pela direita).
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Re: [Limites]

Mensagempor temujin » Qui Ago 22, 2013 19:11

Tente escrever a fração como:

\lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{sen(x)}}

E agora aplique l'Hospital (lembre-se que no denominador vc tem que usar a regra da cadeia):

\lim_{x \to 0}\frac{-sen^2(x)}{x.cos(x)}

Aplicando l'Hospital de novo:

\lim_{x \to 0} \frac{-2sen(x)}{cos(x)+x.sen(x)} = 0
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Re: [Limites]

Mensagempor Pessoa Estranha » Qui Ago 22, 2013 23:13

Obrigada por responder! Bom, seguindo a sua sugestão, a minha resolução ficaria assim:

\lim_{x\rightarrow0}{sen(x)ln(x)}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{ln(x)}{\frac{1}{sen(x)}}

Como trata-se de uma indeterminação e conseguimos reescrever o limite num quociente, podemos aplicar L´Hospital.

\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{0.senx-cosx.1}{{(senx)}^{2}}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{{(senx)}^{2}}{(-cosx).x}

Novamente obtemos uma indeterminação, então:

\lim_{x\rightarrow0}{\frac{senx.senx}{x.(-cosx)}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{cosx.senx+cosx.senx}{x(-cosx)}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2cosx.senx}{x(-cosx)}}

\lim_{x\rightarrow0}{\frac{-2senx}{x}}

Indeterminação, então:

\lim_{x\rightarrow0}{\frac{0.senx-2cosx}{1}}=\lim_{x\rightarrow0}{(-2cosx)}

= -2.

Eu sei que está errado, mas qual é o meu erro?
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Re: [Limites]

Mensagempor temujin » Sex Ago 23, 2013 00:06

Olá.

O problema está na segunda indeterminação. No numerador vc tem sen^2(x).

Pra facilitar, faça uma substituição: u=sen(x) \Rightarrow u^2=sen^2(x)

Derivando: (u^2)' = 2u = 2sen(x)


Além disto, no denominador vc tem x.cos(x), que tb precisa ser derivado (regra do produto):

(x.cos(x))' = cos(x)+x.sen(x)

Portanto, o limite fica:

\lim_{x \to 0} \frac{-sen^2(x)}{x.cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{-2sen(x)}{cos(x)+x.sen(x)} = \frac{-2.0}{1+0.0} = 0

Não sei se ficou mto claro, qualquer dúvida é só perguntar.

:)
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Re: [Limites]

Mensagempor e8group » Sex Ago 23, 2013 00:52

Pensei de outra forma ,espero que esteja certo .

Escolhendo um n > 0 de modo que x+1 > x > x/n + 1 , \forall x > 0 . Como a função f : x \mapsto f(x) = ln(x) é injetora (ela é estritamente crescente) então ln(x+1) > ln(x) > ln(x/n+1) e portanto |sin(x)| ln(x+1) \geq|sin(x)| ln(x) \geq |sin(x)| ln(x/n + 1) ocorrendo a igualdade somente quando sin(x) = 0 para x > 0 . Como \lim_{x\to 0^+} |sin(x)| ln(x+1) =  \lim_{x\to 0^+} sin(x) ln(x+1) e além disso ,


\lim_{x\to 0^+} |sin(x)| ln(x+1) =  \lim_{x\to 0^+} |sin(x)| \lim_{x\to 0^+} ln(x+1) = sin(0) ln(1) = 0  = \lim_{x\to 0^+} |sin(x)| \lim_{x\to 0^+} ln(x/n+1)= \lim_{x\to 0^+} |sin(x)|ln(x/n+1) .


Logo , pelo teorema do confronto \lim_{x\to 0^+} sin(x) ln(x+1) = 0 .
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Re: [Limites]

Mensagempor e8group » Sex Ago 23, 2013 01:01

Agora que percebi ,a solução acima torna invalida para x \to 0^+ pois x +1 > x > x/n + 1 > 1 .Por favor desconsiderem .
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Re: [Limites]

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Ago 23, 2013 15:02

Obrigada por terem respondido.

Eu entendo que facilitaria bastante se substituir {(senx)}^{2} por uma variável u; contudo, não posso aplicar a regra do produto?

Eu pensei assim: {(senx)}^{2} = senx.senx \Rightarrow (senx.senx)´ = (senx)´. (senx) + (senx)´. (senx) = cosx.senx+cos.senx = 2cosx.senx.

(ingnorem estes Â)
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Re: [Limites]

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Ago 23, 2013 15:17

Percebi algo agora....

Na minha resolução (lá em cima), eu acho que esqueci de derivar o denominador (preocupei-me em derivar o numerador, mas esqueci do outro).

Vamos ver:

\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2cosx.senx}{((-cosx)+senx)}= \frac{2.1.0}{-1+0}=\frac{0}{-1}=0.

Vejam!!!! Bom, esta resolução só pode estar certa se estiver correto aplicar a regra do produto em {(senx)}^{2}. Pode?

Já pensou em esquecer de derivar o denominador na prova de Cálculo????!!!! :lol:

Obrigada!
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Re: [Limites]

Mensagempor Man Utd » Sáb Ago 24, 2013 15:28

Pessoa Estranha escreveu:
Eu entendo que facilitaria bastante se substituir {(senx)}^{2} por uma variável u; contudo, não posso aplicar a regra do produto?



pode sim :)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}