[integral indefinida] qual o processo de resolução a usar

por **armando** » Seg Jul 29, 2013 23:53

Boa noite a todos.

Considerem a seguinte integral:

$\int \sqrt{1-e^x}\,\,dx$

Qual o processo de resolução a usar ? Por partes ? Por substituição ... ?

Grato pela atenção.
armando

por **Russman** » Ter Jul 30, 2013 00:30

Substituição!

Faça e^x = u

e depois $v = \sqrt{1-u}$ que eu acho que funciona.

por **MateusL** » Ter Jul 30, 2013 02:47

Faça $u=\sqrt{1-e^x}\implies e^x=1-u^2$ .

Teremos:

$\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d\sqrt{1-e^x}}{dx}=-\dfrac{e^x}{2\sqrt{1-e^x}}\implies dx=-\dfrac{2\sqrt{1-e^x}}{e^x}\cdot du$

Assim:

$\int \sqrt{1-e^x}\cdot dx=-\int \sqrt{1-e^x}\cdot \dfrac{2\sqrt{1-e^x}}{e^x}\cdot du=2\int \dfrac{-u^2}{1-u^2}\cdot du$

$\int \sqrt{1-e^x}\cdot dx=2\int \dfrac{1-u^2-1}{1-u^2}\cdot du=2\int \left(1-\dfrac{1}{1-u^2}\right)\cdot du$

$\int \sqrt{1-e^x}\cdot dx=2\int du-\int \dfrac{1}{1-u^2}\cdot du=2u+C-\int \dfrac{1}{1-u^2}\cdot du$

Só não consegui encontrar uma maneira de resolver $\int\dfrac{1}{1-u^2}\cdot du$ (sem ser utilizando o WolframAlpha).

Abraço

por **Russman** » Ter Jul 30, 2013 03:13

Basta tomar

$\frac{1}{1-u^2} = \frac{1}{(1-u)(1+u)} = \frac{A}{1-u} + \frac{B}{1+u}$

onde

A(1+u) + B(1-u) = 1

.

Logo,

e

de modo que $A = B = \frac{1}{2}$ e, portanto,

$\int \frac{du}{1-u^2} = \int \frac{1}{2} \frac{du}{1+u}+\int \frac{1}{2} \frac{du}{1-u} = \frac{1}{2} \ln (1+u)- \frac{1}{2} \ln(1-u)+c$

por **Man Utd** » Ter Jul 30, 2013 11:26

também poderia resolver de imediato assim:
$\int \frac{1}{1-x^{2}}dx=arc tgh x +C$

por **Man Utd** » Ter Jul 30, 2013 15:31

por **Russman** » Ter Jul 30, 2013 17:24

De imediato? Haha

por **Man Utd** » Ter Jul 30, 2013 19:31

é mais ligeiro que fazer por frações parciais né?

por **Russman** » Ter Jul 30, 2013 19:38

Mas como voce demonstra o resultado se não por fraçoes parciais? A diferença daqueles logaritmos é, por definição, o arco tangente hiperbólico.

por **Man Utd** » Ter Jul 30, 2013 19:58

eu não posso demosntrar assim?
pela definição da derivada função inversa:
f(x)=tgh x---------f¹(x)=arc tgh x
$\\\\ \frac{d(arc tgx)}{dx}=\frac{1}{sech^{2}(arc tghx)} \\\\ \frac{d(arc tgx)}{dx}=\frac{1}{1-tgh^{2}(arctgx)} \\\\ \frac{d(arc tgx)}{dx}=\frac{1}{1-x^{2}}$

tem certeza que você ñ acha mais prático?
único ponto negativo que eu vejo é a memorização,mas a dedução é extremamente fácil.